黄色の線で示したペリトロコイド

　　ｘ＝（Ｒ−ｒ）ｃｏｓθ＋Ｒｃｏｓ（（Ｒ−ｒ）/Ｒθ）

　　ｙ＝（Ｒ−ｒ）ｓｉｎθ−Ｒｓｉｎ（（Ｒ−ｒ）/Ｒθ）

では、長さ２Ｒの線分を１回転させることができる。(尖点が奇数の場合）

　そこで、掛谷の定数のような面積の極限値を求めてみたい。

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【１】ｎ尖点ハイポサイクロイドの面積

　ｎ個の尖点をもつハイポサイクロイドは，パラメータθを用いて

　　ｘ＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ（ｎ−１）θ

　θ（0、２π)

と記述されます．

θで微分すると

　　ｘ’＝−（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−（ｎ−１）ｒｓｉｎ（ｎ−１）θ

　　ｙ’＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ−（ｎ−１）ｒｃｏｓ（ｎ−１）θ

　ここで注意しなければならないことは，θは極座標（ｒ，θ）のパラメータではないことです．そのため，

　　Ｓ＝1/2∫ｒ^2ｄθ　　　ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2

として計算すると正しい値が得られません．

　計算方法はいくつか考えられるのですが，

　　Ｓ＝∫ｙｄｘ＝∫ｙｘ’ｄθ

　　Ｓ＝∫ｘｄｙ＝∫ｘｙ’ｄθ

　　Ｓ＝1/2∫（ｙｄｘ-ｘｄｙ）＝1/2∫（ｙｘ’-ｘｙ’）ｄθ

　　Ｓ＝（ｎ−１）（ｎ−２）・πｒ^2

で表されることが計算されます．定円の半径をＲ（＝ｎｒ）とした場合は，

　　Ｓ＝（ｎ−１）（ｎ−２）／ｎ^2・πＲ^2

となります．

　デルトイドの場合はｎ＝２，Ｒ＝２ｒですから

　　Ｓ＝２πｒ^2

となって回転円の面積の２倍に等しくなります．また，ｎ→∞のとき

　　Ｓ→πＲ^2

となって定円の面積に近づきます．

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