ラグランジュの定理：どんな自然数でも

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

の形に書ける．それでは，どんな自然数でも

　　Ａｘ^2＋Ｂｙ^2＋Ｃｚ^2＋Ｄｗ^2

で書けるだろうか？

　すべての整数はＡｘ^2＋Ｂｙ^2＋Ｃｚ^2＋Ｄｗ^2の形に表せるが，それは５４通りの組み合わせしかないことが知られている（ラマヌジャン）．

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【１】ラマヌジャンのリスト（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）

　（１，１，１，１），（１，１，１，２），（１，１，１，３）

　（１，１，１，４），（１，１，１，５），（１，１，１，６）

　（１，１，１，７），（１，１，２，２），（１，１，２，３）

　（１，１，２，４），（１，１，２，５），（１，１，２，６）

　（１，１，２，７），（１，１，２，８），（１，１，２，９）

　（１，１，２，１０），（１，１，２，１１），（１，１，２，１２）

　（１，１，２，１３），（１，１，２，１４），（１，１，３，３）

　（１，１，３，４），（１，１，３，５），（１，１，３，６）

　（１，２，２，２），（１，２，２，３），（１，２，２，４）

　（１，２，２，５），（１，２，２，６），（１，２，２，７）

　（１，２，３，３），（１，２，３，４），（１，２，３，５）

　（１，２，３，６），（１，２，３，７），（１，２，３，８）

　（１，２，３，９），（１，２，３，１０），（１，２，４，４）

　（１，２，４，５），（１，２，４，６），（１，２，４，７）

　（１，２，４，８），（１，２，４，９），（１，１，２，９）

　（１，２，４，１０），（１，２，４，１１），（１，２，４，１２）

　（１，２，４，１３），（１，２，４，１４），（１，２，５，６）

　（１，２，５，７），（１，２，５，８），（１，２，５，９）

　（１，２，５，１０）

　どんな自然数でも

　　ｘ^2＋２ｙ^2＋３ｚ^2＋４ｗ^2

で書けるのである．

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　どんな自然数でも

　　a^2＋２b^2＋５c^2＋５d^2＋１５e^2

で書けるのであるが、どうやって証明したらよいだろうか？

１５の定理を使ってみよう。すなわち、１，２，３，５，６，７，１０，１４，１５を表現することを示せばよい。

f(1,0,0,0,0)=1

f(0,1,0,0,0)=2

f(1,1,0,0,0)=3

f(0,0,1,0,0)=5

f(1,0,1,0,0)=6

f(0,1,1,0,0)=7

f(0,0,1,1,0)=10

f(2,0,1,1,0)=14

f(0,0,0,0,1)=15

　　ａ^2＋２ｂ^2＋５ｃ^2＋５ｄ^2

は１５を除いたすべての正の整数を値にとることができる．１５は

　　ａ^2＋２ｂ^2＋５ｃ^2＋５ｄ^2

と書けない唯一の数なのである．

f(1,0,0,0)=1

f(0,1,0,0)=2

f(1,1,0,0)=3

f(0,0,1,0)=5

f(1,0,1,0)=6

f(0,1,1,0)=7

f(0,0,1,1)=10

f(2,0,1,1)=14

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　どんな自然数でも

　　ｘ^2＋２ｙ^2＋３ｚ^2＋４ｗ^2

で書けるのである．

f(1,0,0,0)=1

f(0,1,0,0)=2

f(1,1,0,0)=3

f(1,0,0,1)=5

f(0,1,0,1)=6

f(0,0,1,1)=7

f(1,1,1,1)=10

f(0,1,2,0)=14

f(1,1,2,0)=15

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