a,b,cを整数とするとき、

aｘ^2＋bxｙ+cy^2＝n

がZ^2に解をもつか？　その整数解をすべて決定できるか？・・・

3ｘ^2＋6xｙ-5y^2＝4

についてf(1,1)=4であることはすぐにわかるが、

3ｘ^2＋6xｙ-5y^2＝4

f(x,y)=7となる(x,y)をみつけることはできるだろうか？

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【１】同値性

ax^2+hxy+by^2とAx^2+Hxy+By^2が整数上同値とは、2次形式ｆの定義された格子があり、

2つの基底{e1,e2},{f1,f2}があって、

f(xe1+ye2)=ax^2+hxy+by^2

f(xf1+yf2)=Ax^2+Hxy+By^2に一致することでると定義する。

たとえば、e1=f2,e2=-f1-f2のとき、

xe1+ye2=-yf1+(x-y)f2=wf1+zf2とすると

z=x-y,w=yであって、

2ｘ^2-4xｙ+3y^2＝2（ｘ-ｙ）＾2+ｙ＾2＝2ｚ＾2+ｗ＾2

となって、2ｘ^2-4xｙ+3y^2がとる値の集合と2ｚ＾2+ｗ＾2がとる値の集合は一致することがわかる。

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