■格子のボロノイ細胞(その111)
16次元偶ユニモジュラー格子のテータ関数はE8
Θ(z)=1+480Σσ7(n)q^2n
ただひとつに限られる.ウィットはテータ関数がこれに一致する16次元偶ユニモジュラー格子はE8+E8,D16+の2つしかないことを示した.
[Q]これらが等スペクトル格子であることを示せ.
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D16+のテータ関数は1/2(θ2^16+θ3^16+θ4^16)
E8+E8のテータ関数は(1/2(θ2^8+θ3^8+θ4^8))^2
また,
θ3^4=θ2^4+θ4^4
が成り立つ.
θ3^8=θ2^8+θ4^8+2θ2^4θ4^4
(1/2(θ2^8+θ3^8+θ4^8))^2
=((θ2^8+θ2^4θ4^4+θ4^8))^2
=((θ2^8+θ4^8)^2+θ2^8θ4^8+2θ2^4θ4^4(θ2^8+θ4^8))
一方,
1/2(θ2^16+θ3^16+θ4^16)
=1/2((θ2^16+θ4^16)+(θ2^8+θ4^8+2θ2^4θ4^4)^2)
=1/2((θ2^8+θ4^8)^2−2θ2^8θ4^8+(θ2^8+θ4^8+2θ2^4θ4^4)^2)
=1/2((θ2^8+θ4^8)^2−2θ2^8θ4^8+(θ2^8+θ4^8)^2+4θ2^8θ4^8+4θ2^4θ4^4(θ2^8+θ4^8))
=((θ2^8+θ4^8)^2+θ2^8θ4^8+2θ2^4θ4^4(θ2^8+θ4^8))
両者は一致.
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