[Q]三辺の長さがa,b,cである直角三角形に内接する正三角形のうちで、面積が最小のものを求めよ

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[A]正三角形の1辺の長さをｒとする。

r=2ab/{(a+√3b)sinθ+(√3a+b)cosθ}

コーシー・シュワルツの不等式より

{(a+√3b)sinθ+(√3a+b)cosθ}<={(a+√3b)^2+(√3a+b)^2}^1/2{sinθ^2+cosθ}^2

={4a^2+4b^2+4ab√3}^1/2

等号は(a+√3b)cosθ＝(√3a+b)sinθのとき

r=ab/{a^2+b^2+ab√3}^1/2

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b=1としても一般性は失われない。

r=a/{a^2+1+a√3}^1/2

dr/da={{a^2+1+a√3}^1/2-a(1/2{a^2+1+a√3}^-1/2))(2a+√3)}/{a^2+1+a√3}

={{a^2+1+a√3}-a(a+√3/2)}/{a^2+1+a√3}^3/2

={1-a√3/2}/{a^2+1+a√3}^3/2

a=2/√3

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[Q]三辺の長さがa,b,cである直角三角形に内接する正方形のうちで、面積が最小のものを求めよ

[A]正方形の1辺の長さをｒとする。

r=ab/(a+b)

b=1としても一般性は失われない。

r=a/{a+1}

dr/da={a+1-a}/{a+1}^2

=1/{a+1}^2

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[Q]どちらが大きいか？

[A]

r=a/{a^2+1+a√3}^1/2, S1=r^2・(√3)/4=a^2/{a^2+1+a√3}・(√3)/4

r=a/(a+1),S2=a^2/(a+1)^2

S2/S1＝{a^2+1+a√3}/(a+1)^2・4/√3>1

ｓ1＜ｓ2となることがわかる

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