[Q]三辺の長さがa,b,cである直角三角形に内接する正三角形のうちで、面積が最小のものを求めよ

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[A]正三角形の1辺の長さをｒとする。

r=2ab/{(a+√3b)sinθ+(√3a+b)cosθ}

コーシー・シュワルツの不等式より

{(a+√3b)sinθ+(√3a+b)cosθ}<={(a+√3b)^2+(√3a+b)^2}^1/2{sinθ^2+cosθ}^2

={4a^2+4b^2+4ab√3}^1/2

等号は(a+√3b)cosθ＝(√3a+b)sinθのとき

r=ab/{a^2+b^2+ab√3}^1/2

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b=1としても一般性は失われない。

r=a/{a^2+1+a√3}^1/2

dr/da={{a^2+1+a√3}^1/2-a(1/2{a^2+1+a√3}^-1/2))(2a+√3)}/{a^2+1+a√3}

={{a^2+1+a√3}-a(a+√3/2)}/{a^2+1+a√3}^3/2

={1-a√3/2}/{a^2+1+a√3}^3/2

a=2/√3

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［２］コーシー・シュワルツの不等式

　　（Σａｂ）^2≦（Σａ^2）・（Σｂ^2）

　　等号が成り立つのはａ1／ｂ1＝ａ2／ｂ2＝・・・＝ａn／ｂnのときに限る

というのが，コーシー・シュワルツの不等式である．ｎ＝１のときは相加相乗平均不等式に帰着する．

　ｎ＝３のときは

　　（ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ）^2≦（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）

となる．とくに，ａ＝ｂ＝ｃ＝１とすると

　　（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３≦（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）

となって，

　　２（ａ^2＋ｂ^2）−（ａ＋ｂ）^2＝（ａ−ｂ）^2≧０

　　３（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）−（ａ＋ｂ＋ｃ）^2＝（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2≧０

　　４（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）−（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）^2＝（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ｄ）^2＋（ｄ−ａ）^2≧０

　　ＮΣｄi^2−（Σｄi）^2≧０　　　（等号はｄ1＝ｄ2＝・・・＝ｄNのとき）

も，コーシー・シュワルツの不等式によっていることが理解される．

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