【３】等周不等式

　「周長Ｌの等しい平面領域で，最大の面積Ｓをもつものは円である．」これを別の表現にしたものが，等周不等式

　「Ｌ^2≧４πＳ　　　等号は円に対してのみ成り立つ．」

です．

　ｎ角形に関する等周問題を考察してみましょう．ｎ角形の周の長さが与えられているとき，面積の最大のものは正ｎ角形ですから，

　　Ｌ^2≧４ｎＳｔａｎ（π／ｎ）

等号は正ｎ角形に対してのみ成り立ちます．

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【１】頭の体操

　まず，頭の体操からはじめましょう．「正三角形内の任意の点Ｐから，各辺までの距離をｒ1，ｒ2，ｒ3とすれば，その和は，点Ｐの位置にかかわらず，常に一定である．」という問題を解いてみることにします．

　正三角形の１辺の長さが１のとき，

　　ｒ1＋ｒ2＋ｒ3＝√３／２

すなわち，この和が正三角形の高さと等しくなることは簡単に求められます．

　次に「正三角形内の任意の点Ｐから，各頂点までの距離をＲ1，Ｒ2，Ｒ3とすれば，その和が最小になるのは点Ｐが重心に一致するときである．」について考えてみることにしましょう．

　求める点Ｐをフェルマー点といいます．点Ｐは三角形ＡＢＣの内部にありますが，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ＜１２０°のときには，３頂点に至る距離の和が最小となる点は３辺を等角１２０°に見込む点です．∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃのいずれかが≧１２０°のときには，それぞれ頂点Ａ，頂点Ｂ，頂点Ｃになります．したがって，正三角形の１辺の長さが１のとき，

　　Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3≧√３

より，最小値√３が得られます．