【３】アルハーゼンの問題

　ヘロンの問題に対して，「アルハーゼンの問題」とは寄り道するのが川ではなく池となったものです．すなわち

（Ｑ）町Ｆ1から川の同じ側にある町Ｆ2に行くとき，円形の池岸の点Ｐに立ち寄るものとする．このとき道のりの長さが最小となるような点Ｐを求めよ

というものです．

（Ａ）点Ｐが求められたとして点Ｐで円の接線を引き，点Ｆ2を接線に対して反対側に対称移動した点をＦ0とする．このとき，Ｆ1Ｐ＋ＰＦ0が直線になればよいので，∠Ｆ1ＰＦ2が点Ｐを通る円の直径で２等分されるとき最短距離になる．したがって，Ｆ1，Ｆ2を焦点とし円の接する楕円と求めればよい．

　点Ｐが存在することは確かですが，では点Ｐはどうやって求めたらいいのでしょうか．純幾何学的に解くのは難しそうですから，点Ｐを解析幾何学的に求めようとすると４次方程式の解に帰着されるため，解はもし存在すれば４個あるいは２個，または解なしとなります．

　いずれにせよアルハーゼンの問題とヘロンの問題との違いはアルハーゼンの問題が（特殊な場合を除いて）定規とコンパスだけでは作図不可能な問題ということであって，Ｆ1，Ｆ2を焦点とし円の接する楕円を作図するという問題は作図問題としては解答不能なのです．

　なお，アルハーゼンの問題の拡張として「町Ｆ1から川の反対側にある町Ｆ2に行くとき，川岸Ｌの点Ｐに立ち寄り，一定幅ｄの「環状」の川を渡るものとする．このとき道のりの長さが最小となるような点Ｐを求めよ．」が考えられます．同じ側→反対側，池岸→「環状」の川岸に変わっています．

　また，円を他の円錐曲線に置き換えて一般化した問題ついては読者の演習問題としたいのですが，楕円ではＦ1Ｐ＋Ｆ2Ｐ＝一定であり片方の焦点から出た光線は楕円上で反射して第２の焦点に向かうとか，双曲線ではＦ1Ｐ−Ｆ2Ｐ＝一定で片方の焦点から出た光線が表面にあたって反射するとあたかも第２の焦点から出たように反射するとか，放物線の焦点を出た光は曲線上で反射して曲線の対称軸に平行に進むという幾何光学的特徴はすでにご存知であろうと思います．

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