【２】ヘロンの問題

（Ｑ）直線Ｌの同じ側にある２点Ｆ1，Ｆ2からの距離の和Ｆ1Ｐ＋ＰＦ2が最小になるようなＬ上の点Ｐを求めよ．

という問題を考えてみます．

　この問題は「ヘロンの問題」と呼ばれていて「町Ｆ1から町Ｆ2に行くとき，川岸Ｌの点Ｐに立ち寄るものとする．このとき道のりの長さが最小となるような点Ｐを求めよ．」という実用価値のある寄り道問題ですし，反射光学の問題あるいはビリヤード問題とも考えることができます．

（Ａ）答は簡単に求めることができる．点Ｆ2を直線Ｌに関して対称移動させＦ0とする．直線Ｆ1Ｆ0と直線Ｌの交点が最短距離となる折り返し点Ｐである．

　この最適な点Ｐには線分Ｆ1ＰとＦ2ＰがそれぞれＬとなす角が等しいという性質があります．また，このことは三角形のフェルマー点Ｆが３つの頂点への距離の和を最小にすること，∠ＡＦＢ＝∠ＢＦＣ＝∠ＣＦＡが成り立つこととよく類似しています．

　ヘロンの問題のバリエーションとして「町Ｆ1から川の反対側にある町Ｆ2に行くとき，川岸Ｌの点Ｐに立ち寄り，一定幅ｄの川を渡るものとする．このとき道のりの長さが最小となるような点Ｐを求めよ．」などもよく見かける問題です．どこに橋を架けたらいいかという問題ですが，川幅は一定ですから点Ｆ1を川幅の分だけ平行移動した点をＦ0として，Ｆ0とＦ2を結ぶ直線が川のＦ2側の岸と交わる点に橋を架ければ最短経路であることがわかります．

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