■ブレットシュナイダーの公式(その24)

 四角形の面積は,辺a、bのなす角をα,辺c、dのなす角をβ,θ=(α+β)/2とすると,19世紀になってから四角形の面積を正確に求めるブレットシュナイダーの公式が得られた.

  S=((s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcdcos^2θ)^1/2

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この公式はなかなか便利である。

四角形が円に内接するとき,θ=(α+β)/2→π/2が成り立つから、面積は最大値をとり,ブラーマグプタの公式

  S=((s-a)(s-b)(s-c)(s-d))^1/2,

  s=(a+b+c+d)/2

が成り立つ.

 この定理でd→0とすると,四角形は三角形になり、三角形のヘロンの公式

  Δ^2=s(s-a)(s-b)(s-c)

が得られる.

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