放物線：ｙ＝ｘ^2の縮閉線はｙ＝１／２＋３（ｘ／４）^(2/3)です．

もともとの点がこの曲線よりも上側にあれば3本の法線が引ける

曲線上にあれば2本の法線が引ける

この曲線よりも下側にあれば1本の法線が引ける

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　　ｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＝１

の縮閉線は，４つのカスプをもつ曲線（準アステロイド）

　　（ａｘ）^(2/3)＋（ｂｙ）^(2/3)＝（ａ^2−ｂ^2)^(2/3)

です

もともとの点がこの曲線よりも外側にあれば2本の法線が引ける

曲線上にあれば3本の法線が引ける

この曲線よりも内側にあれば4本の法線が引ける

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楕円上の2点(x0,y0),(x1,y1)において法線を考える。その交点は

X＝(a^2-b^2)x0x1(y0-y1)/a^2(y0x1-y1x0)

Y＝(a^2-b^2)y0y1(x0-x1)/a^2(y0x1-y1x0)

x1→x0のとき

X＝(a^2-b^2)x0^3/a^4

Y＝-(a^2-b^2)y0^3/b^4

これは

　　（ａｘ）^(2/3)＋（ｂｙ）^(2/3)＝（ａ^2−ｂ^2)^(2/3)

上に乗っている

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双曲線ｘｙ＝1についても同様に考えることができる

2点(x0,y0),(x1,y1)において法線を考える。その交点は

X＝{x0x1(xx0^2+x0x1+x1^2)+1}/x0x1(x0+x1)

Y＝{x0^3x1^3+x0^2+x0x1+x1^2}/x0x1(x0+x1)

x1→x0のとき

X＝{3x0^4+1}/2x0^3

Y＝{x0^4+3}/2x0

この曲線は無限に広がるラッパ状の曲線であるが

もともとの点がこの曲線よりも外側にあれば2本の法線が引ける

曲線上にあれば3本の法線が引ける

この曲線よりも内側にあれば4本の法線が引ける

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