【３】エピサイクロイド・ハイポサイクロイドの特異点

　回転円（半径ｒ）が固定円（半径Ｒ）に接して滑ることなく転がっていくとき，回転円の周上の点の軌跡を考えます．回転円が固定円に外接するとき，その軌跡をエピサイクロイド，内接するとき，ハイポサイクロイドと呼びます．たとえば，固定円と回転円の半径が等しい場合，エピサイクロイドは心臓型曲線（カーディオイド）を描きます．また，星形曲線アステロイドは固定円の半径が回転円の半径の４倍になっているハイポサイクロイドです．

　エピサイクロイド（カージオイド，ネフロイドなど），ハイポサイクロド（デルトイド，アステロイドなど）は，サイクロイドとは異なり代数曲線です．ｒ＝１として，直交座標系におけるこの曲線の方程式を求めてみましょう．

　エピサイクロイドでは，

カージオイド（尖点数１）：

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^2−６（ｘ^2＋ｙ^2）＋８ｘ−３＝０

ネフロイド（尖点数２）：

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3−１２（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋４８ｘ^2−６０ｙ^2−６４＝０

　ハイポサイクロイドは，ｎ＝２のとき，

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝ｙ　　　−２≦ｘ≦２

すなわち，固定円の直径と一致します．直径は２つの尖点をもっていて，その両端は退化した２つの尖点とみなすことができます．

デルトイド（尖点数３）：

　　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋１８（ｘ^2＋ｙ^2）−８ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）−２７＝０

アステロイド（尖点数４）：

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3−４８（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋４３２ｘ^2ｙ^2＋７６８（ｘ^2＋ｙ^2）−４０９６＝０

　いずれも簡単な形にはなりませんが，４つの尖点（特異点）をもつ曲線：アステロイドでは

　　ｘ＝３ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ３θ

　　ｙ＝３ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ３θ

　また，３倍角の公式

　　ｃｏｓ３θ＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ

　　ｓｉｎ３θ＝３ｓｉｎθ−４ｓｉｎ^3θ

を用いると

　　ｘ＝４ｒｃｏｓ^3θ

　　ｙ＝４ｒｓｉｎ^3θ

より

　　ｘ^(2/3)＋ｙ^(2/3)＝（４ｒ）^(2/3)＝ａ^(2/3)

を得ることができます．ｒ＝１では，

　　ｘ^(2/3)＋ｙ^(2/3)＝４^(2/3)

と表すことができるますが，このほうが一般的でしょう．

　ここで，

　　ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）

　　ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）

と表せば，エピサイクロイド，ハイポサイクロドは，サイクロイド：

　　ｘ＝ｒ（θ−ｓｉｎθ）

　　ｙ＝ｒ（１−ｃｏｓθ）

とは異なり，代数曲線であることがわかます．

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