【５】ラマヌジャンの問題

「２^n−７＝ｘ^2の整数解を求めよ」について，ｎ＝１０^40までコンピュータ検索したが，ラマヌジャン自身が示した解

　　ｎ＝３，４，５，７，１５

以外の解を発見することはできなかったという．最近，この５組以外の解はないことが証明された．証明はかなり難しいらしい．

ここでは，その符号を変えた問題

　　「２^n＋７＝ｘ^2の整数解をすべて求めよ」

と対比しながら，ラマヌジャンの問題について考えてみたい．

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［１］２^n＋７＝ｘ^2の整数解

　ｎが偶数の場合，与えられたディオファントス方程式は

　　７＝ｘ^2−２^n＝（ｘ−２^n/2）（ｘ＋２^n/2）

のように因数分解できる．（ｘ−２^n/2），（ｘ＋２^n/2）は７の因数であるから±１，±７でなければならない．このことから，ｘは奇数であることが示されるが，このアプローチではこれで精いっぱいである．

　次に

　　２^n＋７＝ｘ^2　　（ｍｏｄ２）

を考えれば，

　　ｎ＞０のとき，７＝ｘ^2

　　ｎ＝０のとき，８＝ｘ^2

それほど悪くはないが，まだうまくいかない．

　そこで，ｍｏｄ２の代わりにｍｏｄ４，すなわち

　　２^n＋７＝ｘ^2　　（ｍｏｄ４）

を考えれば，

　　ｎ＞１のとき，３＝ｘ^2

　　ｎ＝１のとき，１＝ｘ^2

　　ｎ＝０のとき，０＝ｘ^2

　ｘが偶数のとき，ｘ＝２ｋ→ｘ^2＝４ｋ^2

　ｘが奇数のとき，ｘ＝２ｋ＋１→ｘ^2＝４（ｋ^2＋ｋ）＋１

より，平方数ｘ^2に対してはｘ^2＝０あるいは１（ｍｏｄ４）でなければならない．このことはｎ＝０か１であることを意味する．ｎ＝０はｘ^2＝８よりＮＧ．ｎ＝１，ｘ＝±３であることが示される．

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［２］２^n−７＝ｘ^2の整数解（ラマヌジャンの問題）

　　２^n−７＝ｘ^2　　（ｍｏｄ４）

を考えれば，

　　ｎ＞１のとき，１＝ｘ^2

　　ｎ＝１のとき，３＝ｘ^2

　　ｎ＝０のとき，２＝ｘ^2

これはｎ＞１であることを意味するが，［１］とは違って有限個の可能性以外のすべての場合を除去することはできないのである．

　「２^n−７＝ｘ^2の整数解を求めよ」と「２^n＋７＝ｘ^2の整数解を求めよ」には大きな違いがあるようには見えないが，実際の難しさは段違いなのである．

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証明はかなり難しくなるので，簡単に計算する方法を紹介したい．

　　α＝（１＋√−７）／２

とおく．

　　α＋α~＝１，αα~＝２＝｜α｜^2

　　α^k＝（ａk＋ｂk√−７）／２

によって，有理数ａk，ｂkを定めれば

　　ａk^2＋７ｂk^2＝４｜α^k｜^2＝２^k+2

　したがって，ラマヌジャンの問題「２^n−７＝ｘ^2の整数解を求めよ」に対しては，

　　ｂk＝±１

が対応する．

　定義より

　　ｂk＝（α^k−α~^k）／√−７

ここで，

　　α^k+2−α~^k+2＝（α＋α~）（α^k+1−α~^k+1）−αα~（α^k−α~^k）

より，漸化式

　　ｂk+2＝ｂk+1−２ｂk，ｂ0＝０，ｂ1＝１

が得られる．

ｋ：０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２，１３

ｂk：０，１，１，−１，−３，−１，５，７，−３，−１７，−１１，２３，４５，−１

　ｂk＝±１となるのは

　　（ｘ，ｎ）＝（１，３）（３，４），（５，５）（１１，７）（１８１，１５）

すなわち，ｎ＝３，４，５，７，１５の５組が得られる．

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