【２】ラマヌジャンの近似公式

［Ｑ］同じ部屋にいる人のうち，少なくとも二人の誕生日が同じになるためには，その部屋には「少なくとも」何人いればよいか？

ではなく

［Ｑ］同じ部屋にいる人のうち，少なくとも二人の誕生日が同じになるためには，その部屋には「平均して」何人いればよいか？

　この問題にも近似的な公式があって，ハルモスの近似公式

ｋ〜（−２ｌｏｇ（０．５））^1/2・（ｎ）^1/2

において、

ｋ〜∫(0,1)（−２ｌｏｇ（ｑ））^1/2・（ｎ）^1/2dq

とすると，平均値

　　ｋ〜（π／２）^1/2・（ｎ）^1/2〜１．２５√ｎ

が得られる．

ハルモスの近似公式

　　ｋ〜（ｌｏｇ４）^1/2・（ｎ）^1/2〜１．１８√ｎ

より少し大きいことがわかる．

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さらに，マチスの近似公式において

ｋ〜∫(0,1)（１＋√（１-８ｎｌｏｇｑ））／２dq

とすると，ガウスの誤差関数が現れる．

ｋ〜1+exp(1/8n)erfc(1/√8n)√(nπ/2)

ｋ〜1+(1+1/8n+1/128n^2+・・・)(1-1/√2nπ+1/24n√2nπ+・・・)√(nπ/2)

こうして

　　ｋ〜（π／２）^1/2・（ｎ）^1/2〜１．２５√ｎ

よりも正確な公式として，ラマヌジャンの近似公式

　　ｋ〜（πｎ／２）^1/2＋３／２＋１／１２・（π／２ｎ）^1/2−４／１３５ｎ

が得られる．

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