【３】ハルモスの近似公式

電卓を使ったとしても，［２］の計算はわずらわしいので，概算方法を示しておく．アメリカの数学者ポール・ハルモスによれば，ｎ人が集まっていてそのうちの二人の誕生日が同じになる確率が５０％を超えるためには，

　　ｎ＞１．１８×（３６５）^1/2＝２２．５４４

となることが必要であるという．この便利な概算方法がどのようにして見つけられたものなのか考察してみることにする．

　このクイズでは２人が同じ誕生日である確率は１／３６５と小さいけれども，３０人もいれば３０人の中から２人を選び出す組合せ数（30C2）は，３０×２９／２＝４３５通りもあることである．これであれば，同じ誕生日に生まれたペア数の平均値は４３５／３６５となるから，一組以上のペアができると期待できるのである．一般に，１年はｄ日とし，構成員をｎ人とするとペア数の期待値はｎ（ｎ−１）／２ｄになっている．

　このことから

　　ｎ（ｎ−１）／２＞３６５　→　ｎ＞２８

としたいところであるが，実際には[１]で述べたように，

　　ｎ（ｎ−１）／２＞２５３　→　ｎ＞２３

でよく，２３人の中から２人を選び出す組合せ数は

　　２３×２２／２＝２５３

通りあるのである．

　以上のことから，

　　ｎ（ｎ−１）／２＞ｌｏｇ（０．５）／ｌｏｇ（１−１／３６５）

　　　　　　　　　　〜−３６５ｌｏｇ（０．５）

と近似する．左辺の２次式もｎ^2／２と近似すると，

　　ｎ^2＞−２ｌｏｇ（０．５）×３６５

　　ｎ＞（−２ｌｏｇ（０．５））^1/2×（３６５）^1/2

　　ｎ＞１．１７７４１×（３６５）^1/2〜１．１８×（３６５）^1/2

　ところで，

　　ｐn＝（１−１／ｄ）×（１−２／ｄ）×・・・×（１−（ｎ−１）／ｄ）

において，ｎがｄに比べて小さければ，テイラー展開より

　　１−ｋ／ｄ〜ｅｘｐ（−ｋ／ｄ）

　　Π（１−ｋ／ｄ）〜ｅｘｐ（−Σｋ／ｄ）

Σｋ＝ｎ（ｎ−１）／２であるから，

　　ｐ〜１−ｅｘｐ（−ｎ（ｎ−１）／２ｄ）

となる．ハルモスの近似公式は

　　ｐ〜１−ｅｘｐ（−ｎ（ｎ−１）／２ｄ）＞０．５

として

　　ｎ（ｎ−１）／２ｄ＞−ｌｏｇ（０．５）

ｎ^2／２ｄ＞−ｌｏｇ（０．５）

としたものに等しいというわけである．

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