数学者ハーディがラマヌジャンに会いに行ったとき，タクシーナンバーが１７２９という何の変哲もない数であったと彼に伝えたところ，ラマヌジャンは１７２９は２つの３乗数で２通りに表せる最小の数だと答えたというエピソードは大変有名である．

たしかに

　　１７２９＝１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3

と書き表すことができるが，どうすればそんなことに気づくことができるのだろうか？　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】超タクシー数

１７２９は２通りの３乗数の和として表される最小の数である。

ｎ通りの３乗数の和として表される数の中で、最小の数は何だろうか？

２は１通りの３乗数の和として表される最小の数である。

２＝１^3＋１^3

６通りまでの３乗数の和として表される最小の数はわかっている。 ［１］３通り ８７５３９３１９＝１６７^3＋４３６^3＝２２８^3＋４２３^3＝２５５^3＋４１４^3 ［２］４通り ６９６３４７２３０９２４８ ［３］５通り ４８９８８６５９２７６９６２４９６ ［４］４通り ２４１５３３１９５８１２５４３１２０６５３４４

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】キャブタクシー数

負の数も許容することにすると、３^3＋４^3＋５^3＝６^3より

９１＝６^3-５^3＝３^3＋４^3

不定方程式ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3を満たす自然数解は無数に存在します．

　３^3＋４^3＋５^3＝６^3

　１^3＋６^3＋８^3＝９^3

など．

２１５＝９^3-８^3＝１^3＋６^3は最小ではありません。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

以下では不定方程式ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3のパラメータ解について調べてみます．

【３】オイラー

　オイラーによれば不定方程式ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3の一般解は

ａ＝−（ｘ^2＋３ｙ^2）^2＋（ｚ^2＋３ｗ^2）（−ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ＋３ｙｚ），

ｂ＝（ｘ^2＋３ｙ^2）^2＋（ｚ^2＋３ｗ^2）（ｘｚ−３ｙｗ＋３ｘｗ＋３ｙｚ），

ｃ＝（ｚ^2＋３ｗ^2）^2−（ｘ^2＋３ｙ^2）（−ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ＋３ｙｚ），

ｄ＝（ｚ^2＋３ｗ^2）^2＋（ｘ^2＋３ｙ^2）（ｘｚ−３ｙｗ＋３ｘｗ＋３ｙｚ）

　これより，

　　３^3 ＋４^3＋５^3＝６^3，

　　１^3＋６^3＋８^3＝９^3，

　　７^3＋１４^3＋１７^3＝２０^3

などが求められます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【４】ラマヌジャン

　一方，ラマヌジャンはａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3の解を二つの文字ｍ，ｎの恒等式

ａ＝３ｍ^2＋５ｍｎ−５ｎ^2 ，

ｂ＝４ｍ^2−４ｍｎ＋６ｎ^2 ，

ｃ＝５ｍ^2−５ｍｎ−３ｎ^2 ，

ｄ＝６ｍ^2−４ｍｎ＋４ｎ^2

として与えています．

　３^3 ＋４^3＋５^3＝６^3

を意識したものと思われますが，

　３^2＋４^2＝５^2

　３^3＋４^3＋５^3＝６^3

の類似は偶然なのでしょうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【５】１パラメータ恒等式

　　ｎ^3＋（３ｎ^2＋２ｎ＋１）^3＋（３ｎ^3＋３ｎ^2＋２ｎ）^3＝（３ｎ^3＋３ｎ^2＋２ｎ＋１）^3

３^3＋４^3＋５^3＝６^3

１^3＋６^3＋８^3＝９^3

３^3＋１０^3＋１８^3＝１９^3

４^3＋１７^3＋２２^3＝２５^3

７^3＋１４^3＋１７^3＝２０^3

２^3＋１７^3＋４０^3＝４１^3

８^3＋３６^3＋３７^3＝４６^3

２７^3＋３１^3＋３７^3＝４０^3

３^3＋３２^3＋３３^3＝４１^3

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝