【２】フラーレンの数理

ダイヤモンドとグラファイト（鉛筆の芯）に次ぐ炭素第３の形として「フラーレン」があげられる．フラーレンは１９７０年に大澤映二氏（当時京都大学）が存在を予言していた分子である．フラーレンの中でも６０個の炭素原子が球殻状に結合したＣ60はサッカーボール（切頂２０面体）にそっくりで，１２個の五角形と２０個の六角形からなる網目状のカゴ構造を形成している．

　それは炭素原子の結合にかかるストレスが均等に分散しているため他に類を見ないほど安定性が高く化学者たちを興奮させずにはおかなかった．内部に金属イオン（荷電粒子）を閉じこめられることがわかると，世界中の研究者がこぞってこの物質の応用とその可能性に目を向けるようになった．超伝導体，潤滑剤，新薬，電池，触媒等々・・・．現在，フラーレンは炭素原子が中空らせん状に並んだカーボンナノチューブとともにナノテク新素材の代表選手と知られている．

フラーレンは１９７０年に大澤映二氏（当時京都大学）が存在を予言していた６０個の炭素からなるサッカーボール構造（切頂２０面体）をもつ分子である．１９８５年に，クロト，スモーリー，カール（Kroto,Smalley,Curl）がグラファイトにレーザーを当ててできた欠片をマススペクトルにかけたところ分子量が７２０（Ｃ60）と８４０（Ｃ70）という値が得られその存在が確認された．彼らはネイチャー誌に論文を書いてサッカーボールの画を載せた．（その後，数ｍｇ〜数百ｍｇのフラーレンが得られる製法が開発され，ＮＭＲで間違いなくサッカーボールの形であることが証明された．）

　彼らの論文はサッカーボールの形を推定しただけであるが，結局この３人がノーベル化学賞をもらって，大澤映二氏の名前は世界に広く知られることはなく随筆で止まってしまった．日本人にとっては残念なストーリーであるが，大澤映二氏は有機合成のエキスパート，現在でも精力的に人造・人工ダイヤの研究を行っておられる（現・ナノ炭素研究所）．

　その後，サッカーボール型のＣ60だけでなく、ラグビーボール型のＣ70，金属を内部に取り込んだＣ80などが次々に発見され，これら一群の球状炭素分子はフラーレンと総称される．

　フラーレンはダイヤモンドに次ぐくらい硬く，セシウムやルビジウムなどのアルカリ金属を加えると超伝導をおこすという化学的性質をもつ．切頂２０面体は頂点が６０あり，どの頂点からも３本の手がでている．したがってＣ60では３０本の二重結合（１２５００のケクレ構造）が描ける．また，異性体は１８１２種類もあり，そのうちで１２個の五角形がすべて離れているものが１つだけあり，それがサッカーボール型のＣ60である．この形は最も安定であるが，Ｃ60，Ｃ70以外にも正五角形１２枚，正六角形は２０枚〜１００枚以上のフラーレンが知られている．

（Ｑ）五角形と六角形からなる多面体には五角形が常に１２個ある．

（Ａ）オイラーの多面体定理で示される制限からいえることとして，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２，２ｅ≧３ｆ，２ｅ≧３ｖ

を組み合わせると，

　　２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｆ＋４　→　ｆ≦２ｖ−４

　　２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｖ＋４　→　ｖ≦２ｆ−４

また，別の組合せ方をすると，

　　３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≦２ｅ＋３ｆ　→　３ｆ−ｅ≧６

　　３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≧２ｅ＋３ｖ　→　３ｖ−ｅ≧６

　ｎ本の辺をもつｆn枚の面とｎ本の辺が交わるｖn個の頂点をもつ凸多面体について，

　　Ｆ＝ｆ3＋ｆ4＋ｆ5＋・・・

　　２Ｅ＝３ｆ3＋４ｆ4＋５ｆ5＋・・・

　　６Ｆ−２Ｅ≧１２

に代入すると

　　３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・≧１２

　地図のように２つの辺に囲まれた領域まで許すことにすると，この数え上げ公式は

　　４ｆ2＋３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・＝１２

となり，係数が１ずつ小さくなり，それが０となるｆ6は式中に現れない．

　ここで，

(1)ｆ2＝ｆ3＝ｆ4＝０だとすると，少なくとも１２個のｆ5がなければならないことになる

(2)多面体の面がすべてｆ5とｆ6であるならば，ｆ5＝１２（切頂二十面体）

(3)多面体の面がすべてｆ4とｆ6であるならば，ｆ4＝６（切頂八面体）

(4)多面体の面がすべてｆ4，ｆ6，ｆ8であるならば，ｆ4＝ｆ8＋６（斜方切頂立方八面体）

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