【１】ケルビン卿の銘言

ケルビン卿の銘言に「数学者とは

　　∫(-∞,∞)exp(-x^2)dx=√π

を１＋１＝２のように自明だと思っている人である」とある．

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　われわれは数学者ではないが，極座標を用いることによって，簡単に数学者になることができます．

I^2=∫(0,∞)exp(-x^2)dx∫(0,∞)exp(-y^2)dy（２重積分）

=∫(0,π/2)∫(0,∞)exp(-r^2)rdrdθ（極座標変換）

より，結局，

I=√π/2となります．

どうして正規分布に円周率πが現れるか，以前より疑問視しておられた方も多いと思いますが，極座標に変換することによって，πが自然に入り込んできます．また，上式において，x^2=tとおくと，ガウス積分とガンマ関数との面白い関係

　　√π=2I=2∫(0,∞)exp(-x2)dx=∫(0,∞)exp(-t)/√tdt=Γ(1/2)

も得られます．

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ガウス積分をｎ次元に拡張し，

I=∫(-∞,∞)exp(-x1^2+x2^2+･･･+xn^2)dx1dx2･･･dxn

を考えると∫(-∞,∞)exp(-x2)dx=√πのｎ重積分より，直ちに

　　I=π^(n/2)

を得ることができます．

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　n次元ガウス積分を別の方法，直交座標でなく，極座標で求めてみましょう．

球に相当するｎ次元の図形を超球と呼びます．ｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積をＶnとすると，Ｖ1=2（直径）,Ｖ2=π（面積）,Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．また，単位超球の表面積Ｓn-1はｎＶn，半径ｒのｎ次元球の体積はｖnｒ^n，表面積はｎＶnｒ^n-1となります．

　ガウス積分の被積分関数を原点を中心とする半径ｒの球面上で積分し，次にｒ＝０からｒ＝∞まで積分すると，半径ｒの球面上で被積分関数は一定値exp(-r^2)をとり，表面積はｎＶnｒ^n-1ですから，

I=∫(0,∞)exp(-r^2)ｎＶnｒ^n-1dr=ｎＶn∫(0,∞)r^(n-1)exp(-r^2)dr

z=r^2と変数変換するとdz=2rdrより

I=ｎＶn/2∫(0,∞)z^(n/2-1)exp(-z)dz

=Ｖnn/2Γ(n/2) n/2Γ(n/2)=Γ(n/2+1)

=ＶnΓ(n/2+1)

　したがって，

　　Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

を得ることができます．この結果は，形式的にＶn=π^(n/2)/(n/2)！と書くことができます． Γ(m+1)=m!

これより，半径ｒのｎ次元超球の超体積はＶnｒn=(πr2)^(n/2)/Γ(n/2+1)となります．

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