【３】星状図形に対する掛谷の問題

ところが，掛谷の問題はこれで終わりではなかった・・・掛谷の問題を星状図形に制限すると，どうなるのだろうか?　

1971年，カニンガムによって，針の回転の可能な星状図形の面積は必ずπ/108以上であることが証明された．すなわち，ベシコヴィッチ型定理は存在しないのである．

ベシコヴィッチの論文がでた１９２７年以降も，最小の星状図形はデルトイド（面積：π／８）であると信じられていました．ところが，これらより面積が小さい図形が考えだされました．デルトイドが３個の尖点をもっていることに着目すると，ｎ（＞３）個の尖点をもつ図形を考えることができるのです．

[１]アステロイド型の星状図形では，＜π/8(デルトイド)を与えることができる．

[２]円弧型の星状図形では

　　(5-2√2)π/24=0.2842582246・・・＜π／１１

を与えることができる．

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星状図形に対する掛谷の問題は未解決（実解析学における未解決問題）ですが，

　　(5-2√2)π/24=0.2842582246・・・＜π／１１

は現在知られている最適値であって，掛谷定数と呼ばれている．

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