【４】ルーローの三角形（定幅図形）

正三角形の３つの頂点を中心にして正三角形の１辺の長さを半径とする円を描くと，正三角形に少し丸みをつけた図形ができる．これがルーローの三角形である．ルーローの三角形はどの方向の幅も最初の正三角形の１辺の長さとなる．いかなる方向に対しても等しい幅をもっている図形を「定幅図形」と呼ぶ．平面における定幅図形は円だけではなく，そのような形状は無数にあります．

定幅曲線定理

［１］幅ｄのすべての定幅曲線の周長はπｄで等しい（バービエ）

［２］定幅曲線のなかで面積が最大になるのは円，最小になるのはルーローの三角形である（ブラシュケ，ルベーグ）

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【５】ルーローの三角形の工学的な応用

「定幅図形」であるから，どんな向きにおいても同じ長さを１辺とする正方形のなかにピッタリ収まり，正方形の内転形が得られることになる．ルーローの三角形は正方形の内転形ではあるが，その中心軌道が円ではなく，工学応用上の欠点があった．

中心軌道を円にするため，正三角形を３公転について１回自転させることによって，３頂点はペリトロコイド曲線と呼ばれる軌跡を描く．その際，自転と公転の向きによって，辺縁がややへこんだ２角形と４角形になるペリトロコイド曲線が得られる．ロータリーエンジンの繭型はペリトロコイド曲線と呼ばれるもので，さらに，ペリトロコイド曲線を２公転について１回自転させることによって包絡線を求めると，ルーローの三角形に類似した包絡線が得られる．この包絡線がペリトロコイド曲線の内転形となるのである．

[１]四角い穴をあけるドリル

１９１４年，ジェームズ・ワットの子孫であるハリー・ジェームズ・ワットが四角形の穴をあけられるドリルの特許(PAT No.1241175)を取得している．

[２]ロータリーエンジン

ドイツの工学者ヴァンケルがロータリーエンジンの試運転をしたのが１９５７年，そして１９６４年には日本のマツダがロータリーエンジンの生産を開始しています．ロータリーエンジンはルーローの三角形を応用したもので，ピストンがない分，小型化が可能となり，大きさの割には高い出力が得られます．

なお，中心軌道を円にするため，ほぼ正方形のペリトロコイド曲線に代替した．これは近似的な解を与えるものではあるが，精確に正方形に沿って動くものではない．そこで，別稿ではフーリエ級数を用いてこれを改良することにする．

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［補］半径の異なる２つの円があり，半径Ｒの円に半径ｒ（＜Ｒ）の円が内接している場合に，半径ｒの円を固定し，半径Ｒの円が半径ｒの円を偏心回転するとき，半径Ｒの円周上の点Ｐの軌跡をペリトロコイドといいます．この曲線は回転運動の合成になっていて，原点を中心とする半径aの円の円周上を等速αで公転する点があり，その点の周りを半径b・等速βで自転する点の軌跡である．

x=a・cos(αt) + b・cos(βt)

y=a・sin(αt) + b・sin(βt)

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