円周上にｎ点が等間隔に配置されているとき，それらを結んでできる幾何学的図形をポアンソの星という（ポアンソは剛体力学の研究で知られるフランスの数学者）．

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【１】正ｎ角形の対角線の交点数

正多角形の対角線の交点の数がいくつあるかについて取り上げることにします．この問題は一見単純そうにみえるのですが，３本以上の対角線が１点で交わる場合を考慮しなければならないので，古くから難問として知られているそうです．

[１]凸ｎ角形の対角線の本数は？

　ひとつの頂点から引ける対角線はｎ−３本．また，頂点はｎ個あるから，ｎ（ｎ−３）本のように思えるが，これでは同じ対角線が重複して数えられているから２で割って，Ｌ＝ｎ（ｎ−３）／２本．

[２]凸ｎ角形の対角線の交点数の最大値は？

　凸ｎ角形の対角線の交点数の最大値がいくつになるか考えてみることにします．４つの頂点で２本の対角線の交点がひとつ定まりますから，ｎ個の頂点から４つを選ぶ組み合わせ数

　　Ｉmax＝nＣ4

となります．

[３]正ｎ角形の対角線の交点数の最大値は？

　正ｎ角形の対角線をすべて引いたときのグラフの頂点数の最大値は

　　Ｖ＝ｎ＋Ｉmax

また，対角線がひとつの交点により分割される断片の数は１交差する毎に２個増えますから，グラフの辺数の最大値は

　　Ｅ＝ｎ＋Ｌ＋２Ｉmax

　分割数の最大値Ｒmaxは

　　Ｖ＝ｎ＋Ｉmax

　　Ｅ＝ｎ＋Ｌ＋２Ｉmax

　　Ｆ＝Ｒmax＋１

をオイラーの多面体公式：Ｖ−Ｅ＋Ｆ＝２に代入すると

　　Ｒmax＝Ｌ＋Ｉmax＋１＝（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ^2−３ｎ＋１２）／２４

　この問題は次の問題と等価になります．

　　Ｒmax＝Ｍn−ｎ

　　Ｍn＝n-1Ｃ0＋n-1Ｃ1＋n-1Ｃ2＋n-1Ｃ3＋n-1Ｃ4

ここで，Ｍnは円周上にｎ点をとり，円周上の点同士をすべて互いに弦で結ぶ．その際，円の分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数．

[４]正ｎ角形の対角線の交点数は？

　いくつかの段階を経て，所期の目標に近づいてきました．正ｎ角形の対角線に多重交点がなければＩ＝nＣ4となります．ｎが奇数の場合は多重交点がないのでこれが正解ですが，ｎが偶数のときは中心では必ずｎ／２本の対角線が交わります．

　また，ｎが６以上の偶数の場合は必ず多重交点が存在します．多重度は最大でも７を超えないことが確認されていて，６重点以上はｎが３０の倍数でないと出現しません．

　この後は代数的な議論に加え，煩雑な場合分けと例外処理が必要となります．ここで，関数

　　δm（ｎ）＝１　　（ｎはｍの倍数）

　　δm（ｎ）＝０　　（それ以外）

を用います．すなわち，ｎがｍの倍数ならば１，それ以外ならば０となる関数です．

　正ｎ角形の対角線の交点数の公式には，

　　ｍ＝２，４，６，１２，１８，２４，３０，４２，６０，８４，９０，１２０，２１０

が出現し，次のようなものになります．

　　Ｉ＝nＣ4＋（−５ｎ^3＋２４ｎ^2−７０ｎ＋２４）／２４・δ2（ｎ）＋３ｎ／２・δ4（ｎ）＋（−４５ｎ^2＋２６２ｎ）／６・δ6（ｎ）＋４２ｎ・δ12（ｎ）＋６０ｎ・δ18（ｎ）＋３５ｎ・δ24（ｎ）−３８ｎ・δ30（ｎ）−８２ｎ・δ42（ｎ）−３３０ｎ・δ60（ｎ）−１４４ｎ・δ84（ｎ）−９６ｎ・δ90（ｎ）−１４４ｎ・δ120（ｎ）−９６ｎ・δ210（ｎ）

　たとえば，

　　Ｉ（６）＝１３

　　Ｉ（１２）＝３０１

　　Ｉ（１８）＝１８３７

　　Ｉ（１８０）＝４０８４１４６１

　また，正ｎ角形をすべての対角線で分断したときの断片数は，

　　Ｒ＝（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ^2−３ｎ＋１２）／２４＋（−５ｎ^3＋４２ｎ^2−４０ｎ−４８）／４８・δ2（ｎ）−３ｎ／４・δ4（ｎ）＋（−５３ｎ^2＋３１０ｎ）／１２・δ6（ｎ）＋４９ｎ／２・δ12（ｎ）＋３２ｎ・δ18（ｎ）＋１９ｎ・δ24（ｎ）−３６ｎ・δ30（ｎ）−５０ｎ・δ42（ｎ）−１９０ｎ・δ60（ｎ）−７８ｎ・δ84（ｎ）−４８ｎ・δ90（ｎ）−７８ｎ・δ120（ｎ）−４８ｎ・δ210（ｎ）

　　Ｒ（６）＝２４

　　Ｒ（１２）＝４４４

　　Ｒ（１８）＝２４６６

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