【８】スパゲッティの輪

［Ｑ］ゆであがったスパゲッティ５０本が皿に盛りつけられてある．スパゲッティの端は１００個ある．これらの端を２個ずるランダムに選んで繋げていく．全部の端を繋げ終わったとき，スパゲッティの輪は平均でいくつできるか？

　この問題はしばしば己の尾を噛んで環となったヘビ（ウロボロスのヘビ）の例でも代用される．うまく自分の尾を噛めば小さな輪がひとつできるが，何匹かのヘビが連なって，大きな輪ができることもある．

［Ａ］いま，ｎ匹のヘビがいるとして，最初のヘビがうまく自分の尾を噛めば小さな輪がひとつでき，ｎ−１匹のヘビが残る．かみついたのが他のヘビの尾としたら，このときは２匹をまとめて少し長くなった１匹のヘビと考えると，やはりｎ−１匹のヘビが残ることになる．

　つまり，最初のヘビがかみついたのが自分の尾であろうとなかろうと，その後の状況はｎ−１匹のヘビがいるのと変わらないのである．最初のヘビはうまく自分の尾にかみつく確率（輪ができる確率）は１／ｎ．ｎ−１匹のヘビがいる場合は１／（ｎ−１）．

　したがって，１０匹の場合は

　　１／１０＋１／９＋１／８＋・・・＋１／２＋１／１＝２．９３

となる．

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［Ａ］ヘビではなくスパゲッティの場合は，頭と尾の区別がないから，ｎ本のスパゲッティの最初の１本が輪を作る確率は１／（２ｎ−１）．

　したがって，１０本のスパゲッティでは

　　１／１９＋１／１７＋１／１５＋・・・＋１／５＋１／３＋１／１＝２．１３

５０本のスパゲッティでは

　　１／９９＋１／９７＋１／９５＋・・・＋１／５＋１／３＋１／１＝２．９３

となる．

　調和数列の和の近似値

　　Ｈn＝�狽P／ｋ≒ｌｏｇｎ＋γ＋１／２ｎ

を使えば

　　１／９９＋１／９７＋１／９５＋・・・＋１／５＋１／３＋１／１

＝Ｈ100−１／２・Ｈ50

＝ｌｏｇ１００−１／２・ｌｏｇ５０＋１／２・γ

＝２．９３

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