【６】モーザー数列

数列

　　｛１，２，４，８，１６，３１，５７，９９，１６３，・・・｝

は，公比２の等比数列

　　｛１，２，４，８，１６，３２，６４，１２８，２５６，・・・｝

から大きく離れていきます．

　それでは一般式はどのように表されるのでしょうか？　図を描きながらパターンを探してみると，円周上に３点がある場合は三角形の外側に３つの領域，内側に１つの領域，４点の場合は四角形の外側に４つの領域，内側に４つの領域ができる．

　　４＝３＋１，８＝４＋４

　円周上に５点がある場合は五角形の外側に５つの領域，すぐ内側に１０個の三角形領域，中心部に五角形がひとつある．

　　１６＝５＋１０＋１

　円周上に６点がある場合は六角形の外側に６つの領域，すぐ内側に１８個の三角形領域，その内側に３つの五角形と３つの四角形，そして中心部に三角形がひとつある．

　　３１＝６＋１８＋６＋１

　しかしこのパターンからはどうしてもこれといったアイディアが浮かばないのですが，領域の数は弦の数や交点の数と関係していることは明らかであって，前者はnＣ2，後者はnＣ4で計算されます．

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　図なしにこれ以上説明することは難しいので，結論を述べますが，　　すべての領域にラベルを与えると，ラベルを含む数の個数は０，１，２，３，４のいずれかであって，

　　Ｍn＝n-1Ｃ0＋n-1Ｃ1＋n-1Ｃ2＋n-1Ｃ3＋n-1Ｃ4

　　　 ＝１＋（ｎ−１）＋（ｎ−１）（ｎ−２）／２＋（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）／６＋（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）（ｎ−４）／２４

　　　 ＝（ｎ^4−６ｎ^3＋２３ｎ^2−１８ｎ＋２４）／２４　

となることが示されています．

　パスカルの三角形のはじめの５項の和というわけですが，

　　n-1Ｃ0＋n-1Ｃ1＋n-1Ｃ2＋n-1Ｃ3＋n-1Ｃ4＋・・・＋n-1Ｃn-1＝２^(n-1)

ですから，ｎが大きくなればその答えは２^(n-1)からますます離れていくというわけです．

　　Ｍ1＝１，Ｍ2＝２，Ｍ3＝４，Ｍ4＝８，Ｍ5＝１６，

　　Ｍ6＝３１，Ｍ7＝５７，Ｍ8＝９９，Ｍ9＝１６３，Ｍ10＝２５６，

　　Ｍ11＝３８６，Ｍ12＝５６２，Ｍ13＝７９４，Ｍ14＝１０９３，

　　・・・，Ｍ30＝３１９３１，・・・

数列

　　｛Ｍn｝＝｛１，２，４，８，１６，３１，５７，９９，１６３，・・・｝

をこの問題を提起したモーザーにちなんでモーザー数列と呼ぶことにすると，モーザー数列は先入観から間違った答えを予想してしまう例としてしばしば引き合いにだされるものになっています．等比数列（指数関数）でなく，詐欺等比数列・多項式数列（代数関数）であったというわけです．

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　　Ｍn＝ｎ＋nＣ4＋n-1Ｃ2

　　Ｍn＝nＣ4＋nＣ2＋１＝nＣ4＋nＣ2＋nＣ0

とも表すことができますが，円内にnＣ4個の交点，nＣ2個の弦があることから，辺数は

　　２nＣ4＋nＣ2＋ｎ

オイラーの公式により，領域の個数は

　　Ｍn＋ｎ＝２nＣ4＋nＣ2＋ｎ−nＣ4＋２

　　Ｍn＝（ｎ，４）＋（ｎ，２）＋（ｎ，０）

となる．

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