【４】最大分割数の二項係数表現

（問）平面をｎ本の線で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか，の答は

Ｓn＝n+1C２＋１＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

でしたが，もうひとつの答は

　　Ｓn＝ｎC０＋ｎC1＋ｎC２＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

　この公式はｎ本のカットから，それぞれ０本，１本，２本のカットを選ぶ，切り口はその選び方の順序にはよらないので２で割る，と同値であると解釈されます．

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また，オイラーの公式を使って，ピザ切り分け問題を解くために，頂点と辺を数えると，２ｎ個の境界頂点とnＣ2＝ｎ（ｎ−１）／２個の内部頂点があるから

　　ｅ＝２ｎ＋ｎ（ｎ−１）／２

　また，ピザの境界上にｎ本の曲線状の辺とｎ本のカットはそれぞれｎ本の直線の辺を含んでいるから

　　ｖ＝２ｎ＋ｎ^2

　よって，

　　ｆ＝ｅ−ｖ＋１＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

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（問）１つの円をｎ本の弦で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．円と共通点をもつピースの個数Ｐnはいくつになるか？

　　Ｐ1＝２，Ｐ2＝４，Ｐ3＝６，Ｐ4＝８，Ｐ5＝１０

はすぐに求められます．このことからｎ本目の線（弦）を引くと新しい領域が２個増えることがわかります．これを式で表すと

　　Ｐn＝Ｐn-1＋２

　　Ｐn＝２ｎ

　逆に，円と共通点をもたないピースの個数Ｑnは

　　Ｑn＝Ｓn−Ｐn＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２−２ｎ

あるいは，もうひとつのバージョンでは

　　Ｑn＝（ｎ，０）−（ｎ，１）＋（ｎ，２）＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２−２ｎ

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