【６】２元４次形式（ケイリー）

　ケイリーは２元４次形式

　　ｆ＝ａｘ^4＋４ｂｘ^3ｙ＋６ｃｘ^2ｙ^2＋４ｄｘｙ^3＋ｅｙ^4

のユニモジュラー変換による不変式

　　Ｄ＝ａｅ−４ｂｄ＋３ｃ^2

を示し，１８５６年には判別式ｄと行列式

　　　　｜ａ　ｂ　ｃ｜

　　ｑ＝｜ｂ　ｃ　ｄ｜　　　（次数３）

　　　　｜ｃ　ｄ　ｅ｜

とがユニモジュラー変換による不変式の完全系であることを示した．

また，

Ｈ＝｜ｆxx ｆxy ｜

　　　　｜ｆyx ｆyy ｜

　　Ｊ＝｜ｆx ｆy ｜

　　　　｜ｈx ｈy ｜

　　ｈ＝Ｈ／１２^2　　　（Ｈはｆのヘシアン，次数２）

ｊ＝Ｊ／８　　　　　（Ｊは（ｆ，ｈ）のヤコビアン，次数３）

とおくと，

　　ｈ＝（ａｃ−ｂ^2）ｘ^4＋（４ｂｃ＋２ａｄ−６ｂｃ）ｘ^3ｙ＋・・・

　　ｊ＝（ａ^2ｄ−３ａｂｃ＋２ｂ^3）ｘ^6＋・・・

となります．これらの間の関係は，６次の多項式

　　ｊ^2＝−ｆ^3ｑ＋ｆ^2ｈＤ−４ｈ^3

で与えられる．

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