スターリング近似に関係する不等式を掲げてみたい．

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［１］　　ｅ（ｎ／ｅ）^n＜ｎ！＜ｅｎ（ｎ／ｅ）^n

　　　　　ｅ＜√（２πｎ）＜ｅｎ

　　　　　ｅ（ｎ／ｅ）^n＜√（２πｎ）（ｎ／ｅ）^n＜ｅｎ（ｎ／ｅ）^n

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［２］　　１／ｎ・２／ｎ・・・（ｎ−１）／ｎ・ｎ／ｎ≦１／２^n-1

（証）左辺に対して，相加平均・相乗平均不等式を適用すると

　　左辺≦（Σｋ／ｎ^2）^n＝（（ｎ＋１）／２ｎ）^n＝１／２^n（１＋１／ｎ）^n

ここで，

　　（１＋１／ｎ）^n

は増加数列で

　　２≦（１＋１／ｎ）^n≦ｅ

あることがいえるので，ｎ！≦２（ｎ／２）^nが証明されたことになる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［３］

　　ｎ！^2＝（１・２・・・ｎ）（ｎ・・・２・１）＝Πｋ（ｎ＋１−ｋ）

　　Πｎ≦ｎ！^2≦Π（ｎ＋１）^2／４

より

　　ｎ^n/2≦ｎ！≦（ｎ＋１）^n／２^n

　　２^n（１＋１／ｎ）^-n≦ｎ^n／ｎ！≦ｎ^n/2

が成り立つ．

　ここで，

　　（１＋１／ｎ）^n

は増加数列で

　　２≦（１＋１／ｎ）^n≦ｅ

あるので，

　　２^n／２≧２^n（１＋１／ｎ）^-n

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