１０００！は１０^250よりもはるかに大きい数ですが、どれくらい巨大な数であるのか、その桁数を求めてみましょう。

　　ｌｏｇｎ！＝ｌｏｇ１＋ｌｏｇ２＋・・・＋ｌｏｇｎ

　　　　　　　＝Σｌｏｇｘ

ｌｏｇ（1000！）＝5912.13

底を10に変換（常用対数）すると

　　ｌｏｇ10（1000！）＝2567.61

1000！の桁数は2568であることがわかります。

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【１】階乗の漸近評価（スターリングの公式）

ところで、階乗ｎ！の近似値を与える公式として有名なスターリングの公式があります．

　　ｎ！　〜　√（２πｎ）ｎ^nｅ^(-n)

スターリングの公式では，ｎ＝８のとき相対誤差は約１％ですが，ｎが大きくなるほど相対誤差は小さくなります．

　まず，スターリングの公式を誘導してみましょう．

ｙ＝ｌｏｇｘのグラフを幅が１の長方形に分割していくと，ｘが十分大きければ相対的に和の間隔が小さくなるので，和は積分に置き換えられます．

　　Σｌｏｇｘ≒∫(1,n)ｌｏｇｔｄｔ

　ｌｏｇｘの原始関数は置換積分よりｘｌｏｇｘ−ｘ＋Ｃと計算され，区間［１，ｎ］ですから，

　　∫(1,n)ｌｏｇｔｄｔ＝ｎｌｏｇｎ−ｎ＋１

となります．

1000ｌｏｇ1000−1000＋１＝5908.76

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　　ｌｏｇ（ｎ−１）！＜∫(1,n)ｌｏｇｔｄｔ＜ｌｏｇｎ！

より，ｎ！の下からの評価は

　　∫(1,n)ｌｏｇｔｄｔ＜ｌｏｇｎ！

したがって，

　　ｎ！＞ｅｘｐ（ｎｌｏｇｎ−ｎ＋１）＝ｅｎ^nｅ^(-n)＝ｅ（ｎ／ｅ）^n

が得られます．

　また，上からの評価は

　　ｌｏｇｎ！＜∫(1,n+1)ｌｏｇｔｄｔ

より，

　　ｎ！＜ｅｘｐ（（ｎ＋１）ｌｏｇ（ｎ＋１）−ｎ）＝（ｎ＋１）^(n+1)／ｅ^n

したがって，

　　ｎ！＝ｎ（ｎ−１）！＜ｎｅｘｐ（ｎｌｏｇｎ−ｎ＋１）＝ｅｎ（ｎ／ｅ）^n

が得られます．

　　ｅ（ｎ／ｅ）^n＜ｎ！＜ｅｎ（ｎ／ｅ）^n

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ｌｏｇｎ！＝ｎｌｏｇｎ−ｎ＋ｏ（ｎ）

としても大体了解されますが，もっと正確に近似すると

　　∫(1,n)ｌｏｇｔｄｔ＜ｌｏｇｎ！＜∫(1,n+1)ｌｏｇｔｄｔ

より

　　ｎｌｏｇｎ−ｎ＜ｌｏｇｎ！＜（ｎ＋１）ｌｏｇ（ｎ＋１）−ｎ

　ここで，スターリングの公式

　　ｎ！　〜　√（２πｎ）（ｎ／ｅ）^n

で与えられるような漸近挙動を得るには，もっと注意深い解析が必要になることがわかります。

　したがって，両辺の相加平均に近い

　　（ｎ＋１／２）ｌｏｇｎ−ｎ

でｌｏｇｎ！を近似できることになり，

　　∫(1,n)ｌｏｇｔｄｔ

　＝ｌｏｇ１＋ｌｏｇ２＋・・・＋ｌｏｇｎ−１／２ｌｏｇｎ＋δ

であること

また，ウォリスの公式：

　　√π〜（ｎ！）^2 ２^(2n)／（２ｎ）！√ｎ

より，結局，スターリングの公式

　　ｎ！〜√（２πｎ）ｎ^nｅ^(-n)

にたどりつきます．

(1000+1/2)ｌｏｇ1000−1000＋1/2・log(2π)＝5912.13

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