【４】モジュラー形式

ｚが上半平面上を動く変数であるとき，

　　ｑ（ｚ）＝ｅｘｐ（２πｉｚ）

は原点を中心として半径１の単位円板から原点を除いた穴あき単位円板上を動く．

　ｅｘｐ（−ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ

　ｅｘｐ（−πｉ）＝−１

　ｅｘｐ（−２ππ）＝１

より

　　ｑ（ｚ＋１）＝ｑ（ｚ）

すなわち，周期１をもつという性質がある．

　さらに，

　　ａ0＋ａ1ｑ＋ａ2ｑ^2＋・・・＋ａnｑ^n＋・・・

　　ａ-mｑ^ｰm＋・・・＋ａ-1ｑ^ｰ1＋ａ0＋ａ1ｑ＋ａ2ｑ^2＋・・・＋ａnｑ^n＋・・・

は，周期１をもつ上半平面上の関数である．

　ｆ（ｚ）がｙ→∞のとき，良い振る舞いをすると仮定すると

　　ｆ（ｚ）＝ａ0＋ａ1ｑ＋ａ2ｑ^2＋・・・＋ａnｑ^n＋・・・

　　ｆ（ｚ＋１）＝ｆ（ｚ）

また，ｆ（ｚ）のｑ展開において，負の指数がないとき，モジュラー形式

　　ｆ（ｚ）＝ａ0＋ａ1ｑ＋ａ2ｑ^2＋・・・＋ａnｑ^n＋・・・

ａ0＝０であるとき，カスプ形式

　　ｆ（ｚ）＝ａ1ｑ＋ａ2ｑ^2＋・・・＋ａnｑ^n＋・・・

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【５】保型形式

　ｚが上半平面上を動く変数であるとき，

　　γ（ｚ）＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ），ａｄ−ｂｃ＝１

は上半平面上の関数である．

　　Ｔ＝［１，１］，Ｔ（ｚ）＝ｚ＋１　　（平行移動）

　　　　［０，１］

　　Ｓ＝［０，　１］，Ｓ（ｚ）＝−１／ｚ　　（反転）

　　　　［−１，０］

　　ｆ（γ（ｚ））＝（ｃｚ＋ｄ）^kｆ（ｚ）

を重みｋの保型形式という．

　　ｆ（ｚ＋１）＝ｆ（ｚ）

　　ｆ（−１／ｚ）＝ｚ^kｆ（ｚ）

を満たす．

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