保型形式が最初に現れたのは，１７５０年のオイラーによる五角数定理

　　Π(1-q^n)=Σ(-1)^mq^(m(3m-1)/2))

ですが，ヤコビの三角数定理（１８２９年）

　　Π(1-q^n)^3＝Σ(-1)^m(2m+1)q^((m^2+m)/2)

を経て，ラマヌジャンの保型形式論の時代に突入します．

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オイラーの分割関数

　　f(x)=Π(1-x^n)^(-1)={(1-x)(1-x^2)･･･(1-x^n)･･･}^(-1)

　　　　=Σp(n)x^n=1+p(1)x+p(2)x^2+p(3)x^3+･･･

すなわち，Π(1-x^n)^(-1)は分割数p(n)の母関数なのですが，それと同様にして，ラマヌジャンの分割数を代数的に定義できます．

　　Δ(z)=zΠ(1-z^n)^24=z{(1-z)(1-z^2)(1-z^3)･･･}^24

　　　　=Στ(n)z^n=τ(1)z+τ(2)z^2+τ(3)z^3+･･･

ここでも，無限積をベキ級数に展開した式（フーリエ展開）が登場しましたが，このΔ(z)は，重さ１２の保型形式

　　Δ((az+b)/(cz+d))=(cz+d)^12Δ(z)

と呼ばれるものになっていて，オイラーの五角数定理の拡張（２４乗版）と考えられます．

ａｄ−ｂｃ＝１すなわちすべてのＳＬ（２，Ｚ）に対して成立しますが，とくに

　　［０，−１］

　　［１，　０］

に対する保型性

　　Δ(-1/z)=(z)^12Δ(z)

が成り立ちます．

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