【７】ヤコビの三角数定理

オイラーは

　（１＋ｚ＋ｚ^2＋・・・）（１＋ｚ^2＋ｚ^4＋・・・）（１＋ｚ^3＋ｚ^6＋・・・）

のｚ^nの係数は

　　ｎ＝ｋ1＋２ｋ2＋３ｋ3＋・・・

の非負整数解となっていることに気づいた．また，

　（１＋ｚ＋ｚ^2＋・・・）（１＋ｚ^2＋ｚ^4＋・・・）（１＋ｚ^3＋ｚ^6＋・・・）＝１／（１－ｚ）・１／（１－ｚ^2）・１／（１－ｚ^3）・・・

であるから，

　　Ｐ（ｚ）＝Π１／（１－ｚ^m）＝Σｐ（ｎ）ｚ^n

　ｐ（ｎ）は分割数，Ｐ（ｚ）はその母関数である．

　一方，

　１／Ｐ（ｚ）＝Π（１－ｚ^m）

では多くの相殺を生じ，

　　Π（１－ｚ^m）＝Σ（－１）^nｚ^(3n^2+n)/2

＝１－ｚ－ｚ^2＋ｚ^5＋ｚ^7－ｚ^12－ｚ^15＋ｚ^22＋ｚ^26－・・・（オイラーの五角数定理）となる．

ここでベキ級数の指数に初めて２次式が登場した．オイラーがこの予想を提起し，彼自身が証明を見出すまで多くの年月が過ぎた．のちにヤコビにより一般的に研究された．

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オイラー関数の２乗

　　Π（１－ｘ^n）^2＝Σ（－１）^k・ｘ^k^2・Σ（－１）^k・ｘ^3k^2+k

＝１－２ｘ－ｘ^2＋２ｘ^3＋ｘ^4＋２ｘ^5－２ｘ^6－２ｘ^8－２ｘ^9＋ｘ^10＋・・・

には特別な性質があるようにはみえない．ところが，オイラーの発見から７０年ほど経って，ヤコビはオイラー関数の３乗

　　Π（１－ｘ^n）^3＝Σ（－１）^k（２ｋ＋１）・ｘ^k(k+1)/2

＝１－３ｘ＋５^3－７ｘ^6＋９ｘ^10－１１ｘ^15＋・・・

を与えることを証明した（ヤコビの三角数定理）．

　　Π(1-q^n)=Σ(-1)^m･q^(m(3m+1)/2)　　　（オイラーの五角数定理，１７５０年）

　　Π(1-q^n)^3＝Σ(-1)^m(2m+1)q^((m^2+m)/2)　　　（ヤコビの三角数定理，１８２９年）

は，ヤコビの三重積公式を使うとあっさり証明できます．

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