【３】高次元の球と立方体の断面の体積

（２）ビューズマンの定理とボールの反例

　一方，半径ｒのｎ次元超球の体積はＶnｒ^nですから，体積を１とするｒの値はＶn^(-1/n)で与えられます．また，ｎ次元超球の中心を通る超平面による切り口は（ｎ−１）次元超球であり，その体積はＶn-1ｒ^(n-1)で表されますから，体積が１の超球の切り口の体積は

　　Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)

となります．

ｎ　　　 Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)

２　　　1.128

３　　　1.209

４　　　1.265

５　　　1.307

６　　　1.339

７　　　1.365

８　　　1.387

９　　　1.405

10　　　1.420

11　　　1.434

12　　　1.445

13　　　1.456

14　　　1.465

　体積１の１０次元超球について，その実際の値を計算してみると１．４２０３・・・となり，体積１の１０次元単位立方体の超平面による切り口の体積√２よりも大きくなります．ここで，半径ｒをほんの少し縮小した超球を考えてみると，単位立方体より断面積は大きいが体積は小さい例を作れることがわかります．

　ところで，３次元空間内の２つの点対称凸体Ｋ，Ｋ’に関して，凸体の中心を通る任意の平面について，断面積の不等式

　　Ａ（Ｋ）＞Ａ（Ｋ’）

が成り立つならば，体積についても不等式

　　Ｖ（Ｋ）＞Ｖ（Ｋ’）

が成り立つことが知られています（ビューズマンの定理，1953年）．

　すなわち，１０次元のボールの例は，

　　Ａ（Ｋ）＞Ａ（Ｋ’）

であっても

　　Ｖ（Ｋ）＜Ｖ（Ｋ’）

という高次元におけるビューズマンの反例になっているのです．

　さて，１０次元以上の一般次元であれば，このような反例が具体的に与えられるのでしょうか？

　　Ａn＝Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)

とおくと，

　　Ａn/Ａn-2＝Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)/Ｖn-3・Ｖn-2^(1/(n-2)-1)

ですから，ｎ→∞のとき，

　　Ａn/Ａn-2→(Ｖn/Ｖn-2)^(1/n)=(2π/n)^(1/n)→１

これより，次元を高くすれば断面積はある極限値に収束しそうです．ｎ→∞のとき，Ｖn-1→０，Ｖn→０ですが，Ａn＝Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)の極限値を求めてみることにしましょう．

　Ｖn=π^(n/2)/(n/2)!より，

　　Ａn＝{(n/2)!}^(1-1/n)/{(n-1)/2}!

これを有名なスターリングの近似公式

　　ｋ！＝√２π・ｋ^(k+1/2)・exp（−ｋ）

を使って書き直してみましょう．簡約化すると

　　Ａn→(n/2)^(n/2)/{(n-1)/2}^(n/2)

　　　　＝{n/(n-1)}^(n/2)

　　　　＝{(1+1/(n-1))^(n-1)}^(1/2)*{n/(n-1)}^(1/2)

　　　　→e^(1/2)

したがって，極限値√ｅ＝１．６４８７・・・に収束することがわかります．

　　√２＜√ｅ＜√３

ですから，これは高次元ではボールの反例がいくらでも作れることを意味しています．

　逆に，９次元以下ではボールの反例は作られませんが，それ以外のビューズマンの反例については，５次元以上で存在することが証明されています（1992年）．しかし，４次元で反例が作れるかどうかは，現在，未解決の問題として残されています．

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