［３］丹野の定理

　２次元平面上で辺の長さ１の正方形と直線の交わり（切り口）は単なる線分の長さになります．ここでは，０≦ａ1≦ａ2の場合を考えますから，直線はｘ軸とｙ＝−ｘに挟まれた領域を動けることになり，正方形の上辺，下辺には交わりません．

　したがって，交わりをｘ軸に射影した線分の長さは１であり，ｎ＝（０，１）とａ＝（ａ1，ａ2）の内積を考えることによって，求める線分の長さ（体積）は

　　Ｖ2（ａ）＝１／ａ2

であることがわかります．

　３次元の場合は，少し複雑になるのですが，

(1)ａ3＞ａ1＋ａ2の場合は，立方体の上面には交わらないので，２次元の場合と同様にして，

　　Ｖ3（ａ）＝１／ａ3

(2)ａ3＜ａ1＋ａ2の場合は上面に交わるので，その分補正が必要となるのですが，｛｝内で（）の中が正のときのみ和をとるという意味の演算記号｛｝_を導入して，

　　Ｖ3（ａ）＝１／ａ3−１／ｃ｛（ａ1＋ａ2−ａ3）^2｝_

　　ｃ＝４ａ1ａ2ａ3

で与えられることが求められます．この式は(1)の場合も含んでいます．

　４次元の場合は，

　　Ｖ4（ａ）＝１／ａ4−１／ｃ［｛（ａ1＋ａ2＋ａ3−ａ4）^3｝_−｛（ａ2＋ａ3−ａ1−ａ4）^3｝_］

　　ｃ＝２４ａ1ａ2ａ3ａ4

となるのですが，これらの考察を高次元化していくことによって，次の定理が与えられます（丹野の定理，1990年）．

　（定理１）

　　Ｖn（ａ）＝１／ａn−１／ｃΣ(-1)^(r-1)Σ_Ｌr^(n-1)

　　ｃ＝（ｎ−１）！２^(n-2)ａ1ａ2･･･ａn，ｒ＝1~n-2

　ここで，Ｌrは

　　Ｌr＝ａk(1)＋・・・＋ａk(n-r)−ａk(n-r+1)−・・・−ａk(n-1)−ａn

ただし，k(1)~k(n-1)は1~n-1のいずれかであって，

　　Ｌr＞０，k(1)を満たすものと定めます．

　２次元ではａ1≦ａ2ですからＬ1は存在せず，３次元の場合，

　　Ｌ1＝ａ1＋ａ2−ａ3

４次元の場合，

　　Ｌ1＝ａ1＋ａ2＋ａ3−ａ4

　　Ｌ2＝ａ2＋ａ3−ａ1−ａ4

５次元の場合，Ｌ2型は４つあり，

　　Ｌ1＝ａ1＋ａ2＋ａ3＋ａ4−ａ5

　　Ｌ2＝ａ1＋ａ2＋ａ3−ａ4−ａ5

　　Ｌ2＝ａ1＋ａ2＋ａ4−ａ3−ａ5

　　Ｌ2＝ａ1＋ａ3＋ａ4−ａ2−ａ5

　　Ｌ2＝ａ2＋ａ3＋ａ4−ａ1−ａ5

　　Ｌ2＝ａ2＋ａ3＋ａ4−ａ1−ａ5

　　Ｌ3＝ａ3＋ａ4−ａ1−ａ2−ａ5

のようになります．以下，一般のｎについて，Ｌrがいくつあるかを数え上げると丹野の定理が証明されます．

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