【１】ヘロンの四面体

［Ｑ］ヘロンの四面体は各辺の長さがすべて整数，各面の面積と体積がすべて有理数の四面体である．４面の辺の長さは（１１７，８４，５１），（５３，５２，５１），（８４，８０，５２），（８０，５３，１１７）で，最大の長さの辺１１７は最小のヘロンの四面体になっている．

［Ａ］

ａ＝８４，ｂ＝１１７，ｃ＝５１

ｄ＝５３，ｅ＝５２，ｆ＝８０

計量すると

各面の面積は１１７０，１８００，１８９０，２０１６，体積は１８１４４である．

（８４，１１７，５１）→１２６・４２・９・７５＝１８９０^2

（５１，５３，５２）→７８・２７・２５・２６＝１１７０^2

（５２，８０，８４）→１０８・５６・２８・２４＝２０１６^2

（１１７，５３，８０）→１２５・８・７２・４５＝１８００^2

ａ^2＝７０５６，ｂ^2＝１３６８９，ｃ^2＝２６０１

ｄ^2＝２８０９，ｅ^2＝２７０４，ｆ^2＝６４００

（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）＝１５５２９

（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）＝２４７３

（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）＝１７２５７

Ｖ＝１８１４４

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