【１】オイラーの四面体公式

ヘロンの公式の３次元版を考えてみましょう．

［Ｑ］６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで，与えられた４面体の体積Δを求めよ

［Ａ］（１２Δ）^2

＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）

＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）

＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）

−ａ^2ｂ^2ｃ^2−ａ^2ｅ^2ｆ^2−ｄ^2ｂ^2ｆ^2−ｄ^2ｅ^2ｃ^2

　この空間ヘロンの公式は，オイラーの公式と呼ばれるものですが，

　　（１２×体積）^2＝六斜術の両辺の差

に等しいということを主張しています．点Ｐが平面三角形ＡＢＣの平面上になく，４点が四面体の頂点をなすときの四面体の体積公式ですから，六斜術は四面体が平面上に退化して体積が０になった極限と解釈することができます．とくに，４面の面積が等しい等面四面体＝４面が合同な鋭角三角形よりなる四面体の場合，

　　７２Δ^2＝（−ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（ａ^2−ｂ^2＋ｃ^2）（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）

と因数分解した形で表されます．

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［Ｑ］サマーヴィルの空間充填等面四面体（3辺の長さが２,√3,√3の等面四面体）の体積を求めよ

［Ａ］７２Δ^2＝（−ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（ａ^2−ｂ^2＋ｃ^2）（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）＝４・２・４，Δ^2＝４／９

［Ｑ］3辺の長さが1,b,1の等面四面体の体積が最大となるbの値は

［Ａ］７２Δ^2＝ｂ^4（２−ｂ^2），ｂ^2＝４／３

［Ｑ］サマーヴィルの空間充填等面四面体（3辺の長さが２,√3,√3の等面四面体）と1辺の長さが√3の正四面体の高さを比較せよ

［Ａ］等しい

［Ｑ］3辺の長さが1,b,1の等面四面体の高さが最大となるbの値は

［Ａ］底面積S^2は，ヘロンの公式より

S^2＝ｂ^2（４−ｂ^2）／１６，ｈ^2＝９Ｖ^2／Ｓ^2，ｂ^2＝４−√８

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