【３】ジェルゴンヌ点とナーゲル点

　△ＡＢＣの内接円が３辺に接する点をＤ，Ｅ，Ｆとすると，チェバの定理により，それと向かい合う頂点とを結ぶ３本の直線ＡＤ，ＢＥ，ＣＦは１点で交わります．この点をジェルゴンヌ点といいます．

　また，△ＡＢＣの傍接円が３辺に接する点をＸ，Ｙ，Ｚとすると，３直線ＡＸ，ＢＹ，ＣＺは１点で交わります．この点がナーゲル点です．

　三角形ＡＢＣ内の点Ｐに対し，ＡＰ，ＢＰ，ＣＰの延長が対辺と交わる点をＸ，Ｙ，Ｚとします．このとき各辺の中点に関するＸ，Ｙ，Ｚの対称点をＸ’，Ｙ’，Ｚ’とすると，チェバの定理により３直線ＡＸ’，ＢＹ’，ＣＺ’は１点Ｑで交わります．このようにしてできる２点Ｐ，Ｑを互いに他の等長共役点と呼びます．ジェルゴンヌ点とナーゲル点は典型的な等長共役点の例ですし，重心は自己等長共役点です．

　三角形の中心点を通る直線や円を介して，中心点同士の間には驚異的な関連性があり，そして中心点の位置を相互に入れ替えるような変換（共役関係）があったのです．

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【４】雑感

　ユークリッドは３つの角を２等分することで内心を見つけたのですが，モーリーは３つの角を３等分するとどうなるかを問題にして，モーリーの定理「任意の三角形において，各内角の３等分線の隣同士の交点を結んで得られる三角形は正三角形である」を発見しました（１８９９年）．

　この驚くべき基本的な定理が２０００年という長い間，２０世紀直前にいたるまで発見されなかった理由は角の３等分問題は解けないことが判明していたところにあるのでしょう．その後，次々とモーリーの定理の証明が発表され，ロジャー・ペンローズやジョン・コンウェイのものを含めその数は１５０にもおよび，いまでも増え続けているそうです．三角形の幾何学は永遠に不滅なのです．

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【１】フェルマー点