【１】楕円関数論

　分母を払うと３次式が得られ，楕円曲線の有理数を求める問題に帰着される．

　　ｙ^2＝ｘ（ｘ^2＋Ａｘ＋Ｂ）

　　Ａ＝ｎ^2−１２

　　Ｂ＝１６（ｎ＋３）

の有理点を探し出す必要がある．３次以上の不定方程式には一般的な解法がなく，ケース・バイ・ケースに考えるしかないこと，また，楕円曲線上の有理点の存否や個数については大問題になっていることから，初等的な証明ができるものかは難しいところがある．

実は，この問題の解として，フィボナッチ数（Ｆ1＝１，Ｆ2＝１，Ｆn+2＝Ｆn+1＋Ｆn），リュカ数（Ｌ1＝１，Ｌ2＝３，Ｌn+2＝Ｌn+1＋Ｌn）に関係する解

　　ａ＝Ｆ2k-1，ｂ＝Ｆ2k+1，ｃ＝Ｆ2k-1Ｌ2kＦ2k+1

が知られている（ただし，これ以外にあるがどうかはわからない）．　

すなわち,　 ｃ＝ａｂ（ａ＋ｂ）であるが

（ａ＋ｂ＋ｃ）（１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ）＝ｎ＋３

（１＋１／ａｂ）｛（ａ＋ｂ）^2＋１｝＝ｎ＋３

なかなか簡単な形にならない．

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