【４】正方形充填問題

　リュカの等式は辺の長さが相続く整数列１，２，・・・，２４の正方形を１辺の長さ７０の正方形の中に詰め込める可能性があることを示唆しています．それでは，実際に，７０×７０の正方形を辺が１から２４の相続く正方形によって埋めつくすことができるでしょうか．この問題の答えは否定的（不可能）です．１辺の長さ７の正方形を除くすべての正方形は詰め込めるのですが・・・．

　それならば，無駄な空間の割合を最小にして，辺の長さが１，２，・・・，ｎの正方形を全て詰め込むことができる最小の正方形の辺の長さはいくつでしょうか．また，相続く整数辺の正方形を使って長方形を充填できるでしょうか．

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【５】立方体充填問題

　上記の問題を立方体に拡張することははるかに難しくなりますが，次に，たくさんの小立方体を立方体に詰め込む問題について考察してみましょう．最初のｎ個の立方数の和は平方数になります（Σｋ^3＝｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2）．

　フィボナッチはこれを次のように証明しました．

１^3＝１，２^3＝３＋５，３^3＝７＋９＋１１，４^3＝１３＋１５＋１７＋１９，５^3＝２１＋２３＋２５＋２７＋２９，・・・

また，最初のｎ個の奇数の和は１＋３＋５＋・・・＋（２ｎ−１）＝ｎ^2，最初のｎ項までに現れる奇数の全項数は１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２

よって，１^3＋２^3＋３^3＋・・・＋ｎ^3＝｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2 ＝（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）^2

が示されます．

　三角数とはｍ（ｍ＋１）／２の型の自然数のことと定義すると，任意の立方数は２つの三角数の平方数の差と表されることがわかります．すなわち，ｙ^3＝｛ｙ（ｙ＋１）／２｝^2−｛ｙ（ｙ−１）／２｝^2がこの証明の根拠となっていることが理解されます．

　１^3＋２^3＋３^3＋・・・は完全平方数ですが，はたして，この数は立方数になりうるでしょうか．

１^3＋２^3＋３^3＋・・・＝１（１^2）＋２（２^2）＋３（３^2）＋・・・

より，この関連問題は，ある１つの正方形を１辺１の正方形１個，１辺２の正方形２個，１辺３の正方形３個，以下同様・・・，によって充填する問題といい換えてもよいのですが・・・．

　また，１からはじめなくてもよければ，３^2＋４^2＝５^2，１８^2＋１９^2＋・・・＋２８^2＝７７^2，３^3＋４^3＋５^3＝６^3，１１^3＋１２^3＋１３^3＋１４^3＝２０^3など連続した平方（立方）数の和が平方（立方）数となることはあるのですが，ｙ^3＝｛ｘ（ｘ＋１）／２｝2 にｘ＝１，ｙ＝１以外の自明でない整数解はあるのでしょうか？

　実は，ｘ＝１を除きｘ（ｘ＋１）／２は立方数にはならないことが示されます．

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【６】超立方体充填問題

　さらに，高次元化して，不定方程式

Σｋ^p ＝１^p ＋２^p ＋３^p ＋・・・＋ｎ^p ＝ｍ^q

の解について考察してみてもおもしろいかと思われます．この不定方程式は（ｐ，ｑ）＝（３，２）のときすべてのｎについて，解をもちます．

１^3＋２^3＋３^3＋４^3＝１０^2

はたまたまこうなったのではなく，最初のｎ個の立方数の和は平方数になります．また，（ｐ，ｑ）＝（１，２），（３，４），（５，２）のとき無限に整数解をもちますが，不定方程式

Σｋ^s ＝１^s ＋２^s ＋３^s ＋・・・＋ｎ^s ＝ｍ^s

では，ｓ≧３の場合，ｘ＝ｙ＝１以外に解はないものと予想されています．すなわち，十分条件はおろか充填のための必要条件すら満足しません．有理数解ならば簡単に与えられる問題であっても整数解に限ると格段にむずかしい深遠な問題に昇華するのです．

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