リュカの問題

　　１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋２４^2

＝２４（２４＋１）（２・２４＋１）／６

＝７０^2

は，最初の２４個の平方数の合計が平方数になっているという面白い式です．驚異的・曲芸的ですらあります．

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【１】楕円関数論

　級数の公式：Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６をご存じの方も多いでしょうが，１からｎまでの平方の和が平方数となるのはｎが１か２４の場合しかありません．四面体数＝四角数あるいは２５平方の等式ともいうべきこの等式はリュカの問題（１８７３年）として知られています．

楕円曲線：ｙ^2＝ｘ（ｘ＋１）（２ｘ＋１）／６上の唯一自明でない整数解は（２４，７０）で，それ以外の自明な解がないことは１９１８年にワトソンにより楕円関数論を用いてなされました．すなわち，１より大きい数でこれが起こるのは２４だけで，それ以外の数では決して最初のN個の平方の和は平方数にはならないのです．

リュカの問題の場合，たまたま解が（１，１），（２４，７０）しかないことはうまく証明されましたが，３次以上の不定方程式には一般的な解法がなく，ケース・バイ・ケースに考えるしかないこと，また，楕円曲線上の有理点の存否や個数については大問題になっていることから，初等的な証明ができるものかは難しいところがありますが，まず，合同式を使ってアプローチしてみます．

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