【６】ユークリッドの互除法の測度論

ユークリッドの互除法では２つの正整数ｍ，ｎがあるとき，その最大公約数ｄとの間で

　　ａｍ＋ｂｎ＝ｄ

を成り立たせることができることを示している．

ａ＞ｂとする．ユークリッドの互除法のアルゴリズムは（ａ：ｂ）に対して　　（ｂ：ａ−ｍｂ）

で置換するというものである．これを，

　　（ａ：ｂ）＝（ｂ：ａ−ｍｂ）

と書くことにする．

　これにより，連分数列

　　［ｍ0：ｍ1，ｍ2，ｍ3，・・・］

が生起される．すなわち，ユークリッドの互除法は連分数と関連していて，その部分商がａになる確率は

　　ｌｏｇ2（１＋１／ａ）−ｌｏｇ2（１＋１／（ａ＋１））

＝ｌｏｇ2（（ａ＋１）^2／（（ａ＋１）^2−１））

で与えられます．

　ａ＝ｘ，ｂ＝１とおくと

　　ｘ：１＝１：ｘ−ｍ

　　ｘ^2−ｍｘ−１＝０

　これはどこか見覚えのある式であって，仮にａ＝τ，ｂ＝１とおくと

　　τ：１＝１：τ−１

となることから，ユークリッドの互除法と黄金比の関係が示唆されるのである．

　　ｘ＝｛ｍ＋（ｍ^2＋４）^1/2｝／２

であるから

［１］ｍ＝ｍ0＝ｍ1＝ｍ2＝・・・＝１のとき（黄金比）

　　ｘ＝｛１＋√５｝／２

［２］ｍ＝ｍ0＝ｍ1＝ｍ2＝・・・＝２のとき（白銀比）

　　ｘ＝｛２＋√８｝／２＝１＋√２

［３］ｍ＝ｍ0＝ｍ1＝ｍ2＝・・・＝３のとき（青銅比）

　　ｘ＝｛３＋√１３｝／２

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