［１］最下位桁の数字が２で割り切れる＝偶数（０，２，４，６，８）であるとき，その数は２で割り切れる．

［２］各桁の和が３で割り切れるとき，その数は３で割り切れる．

［３］下位２桁の数字が４で割り切れるとき，その数は４で割り切れる．

［４］最下位桁の数字が５で割り切れる＝（０，５）であるとき，その数は５で割り切れる．

［５］各桁の和が９で割り切れるとき，その数は９で割り切れる．

　　８３７＝８（９９＋１）＋３（９＋１）＋７

　　　　　＝８・９９＋３・９＋（８＋３＋７）

　　　　　＝（９の倍数）＋（各桁の和）

についてはいまさら説明する必要はないであろう．ここでは素数ｐによる整除性テストを取り上げたい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】７による整除性テスト

［１］最下位の数字を除去し，残った数から除去した数字の２倍を引く．

→その結果が７で割り切れるならば，その数は７で割り切れる．

　８７６５４７の場合，

　　８７６５４−７・２＝８７６４０

　　８７６４−０・２＝８７６４

　　８７６−４・２＝８６８

　　８６−８・２＝７０→７で割り切れる．

　　８７６５４＝８７６４０＋７・２

　　８７６５４・１０＝８７６４０・１０＋７・２・１０

　　８７６５４・１０＋７＝８７６４０・１０＋７・２・１０＋７

　＝８７６５４７

　　８７６４＝８７６４＋０・２

　　８７６４・１０＝８７６４・１０＋０・２・１０

　　８７６４・１０＋２＝８７６４・１０＋０・２・１０＋２

　＝８７６４０２

　　８７６＝８６８＋４・２

　　８７６・１０＝８６８・１０＋４・２・１０

　　８７６・１０＋４＝８６８・１０＋４・２・１０＋４

　＝８７６４

　　８６＝７０＋８・２

　　８６・１０＝７０・１０＋８・２・１０

　　８６・１０＋８＝７０・１０＋８・２・１０＋８

　＝８６８

最下位の数字を除去し，残ったか数から除去した数字の２倍を引く．という操作は，最下位の数字がＮのとき，２０Ｎ＋Ｎ＝２１Ｎ（７で割り切れる）を束にして元の数から引くことを意味しているのである．

なお，８７６５４７を７進法表記すれば

　　８７６５４７＝１・７^7＋０・７^6＋３・７^5＋１・７^4＋０・７^3＋３・７^2＋５・７＋０

→１０３１０３５０

となるが，７を法とした合同式では，７^7＝７^6＝７^5＝７^4＝７^3＝７^2＝７＝０なので，

　　８７６５４７＝０　　（ｍｏｄ７）

となる．

　これは７進法表記１０３１０３５０７の左の７桁を無視して，一番右の桁だけをみることに相当する．

ついでに，７で割り切れない数の場合を示しておこう．

　１６３４を７進法表記すれば

　　１６３４＝４・７^3＋５・７^2＋２・７＋３

→４５２３

となるが，７を法とした合同式では，７^3＝７^2＝７＝０なので，

　　１６３４＝３　　（ｍｏｄ７）

となる．

　これは７進法表記４５２３の左の３桁を無視して，一番右の桁だけをみることに相当する．

　４９＝７^2を法とした合同式では，７^3＝７^2＝０なので，

　　１６３４＝２・７＋３＝１７　　（ｍｏｄ４９）

となる．

　７進法表記４５２３の左の２桁を無視して，右の２桁だけをみることに相当する

　　１６３４＝２３　　（ｍｏｄ４９）

といきたいところであるが，そうではないことに注意．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝