【８】補足

一般に，ｐを素数，ｋをｐ−１で割り切れない正の整数とするとき，

　　１＋１／２^k＋１／３^k＋・・・＋１／（ｐ−１）^k

の分子はｐで割り切れる

　＝１＋２^k＋３^k＋・・・＋（ｐ−１）^k

がｐで割り切れることが示されています．すなわち，

　　１＋１／２^k＋１／３^k＋・・・＋１／（ｐ−１）^k＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

　　１＋２^k＋３^k＋・・・＋（ｐ−１）^k＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

ですが，前節では

　　１＋１／２^k＋１／３^k＋・・・＋１／（ｐ−１）^k

　＝１＋２^k＋３^k＋・・・＋（ｐ−１）^k　　（ｍｏｄ　ｐ）

であることを証明なしに用いました．

　これは，

　　１＝１，１／２^k＝２^k，１／３^3＝３^k，・・・，１／（ｐ−１）^k＝（ｐ−１）^k　　（ｍｏｄ　ｐ）

という意味ではありません．各逆数１／１，１／２^k，・・・，１／（ｐ−１）^k　　（ｍｏｄ　ｐ）は，すべての剰余１，２^k，・・・，（ｐ−１）^k　　（ｍｏｄ　ｐ）をきっかり１回だけ覆うという意味で，再配列によって

　　１＋１／２^k＋１／３^k＋・・・＋１／（ｐ−１）^k

　＝１＋２^k＋３^k＋・・・＋（ｐ−１）^k　　（ｍｏｄ　ｐ）

となるのです．

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