【４】ウォルステンホルムの定理

ｐ＞３が素数ならば

　　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）

の分子はｐ^2で割り切れることを証明せよ（ウォルステンホルムの定理，１８６２年）．

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（証）たとえば，ｐ＝５のとき，この分数は２５／１２となり，その分子はｐ^2で割り切れる．この問題は素数ｐによる整除性ではなく，素数の平方ｐ^2による整除性なので難しい問題である．

１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）を通分すれば，分母は（ｐ−１）！である．ウィルソンの定理より

　　（ｐ−１）！＝−１　　（ｍｏｄ　ｐ）

であるから分母はｐで割り切れない．したがって，

　　Ｓ＝（ｐ−１）！（１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１））

がｐ^2で割り切れることを証明すればよいことになる．

　Ｓは１，２，・・・ｐ−１からｐ−２個とったあらゆる組合せの積の和である．そこで

　　Ｆ＝（ｘ−１）（ｘ−２）・・・（ｘ−ｐ＋１）

　　　＝ｘ^p-1−Ａ1ｘ^p-2＋・・・−Ａp-2ｘ＋Ａp-1

と書けば，根と係数の関係より

　　Ａp-1＝（ｐ−１）！

　　Ａp-2＝（ｐ−１）！（１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１））

　ｘ＝ｐとおけば

　　（ｐ−１）！＝ｐ^p-1−Ａ1ｘ^p-2＋・・・−Ａp-2ｐ＋Ａp-1

　　ｐ^p-2−Ａ1ｐ^p-3＋・・・＋Ａp-3ｐ−Ａp-2＝０

　Ｓ＝Ａp-2であるから，ここでｐ｜Ａ1，ｐ｜Ａ2，・・・，ｐ｜Ａp-2がいえれば，ｐ＞３のときｐ^2｜Ａp-2．

　　ｐ｜pCk　　　(k:1~p-1)

であるから，Ａ1〜Ａp-1を２項係数で表すことができればｐ｜Ａ1，ｐ｜Ａ2，・・・，ｐ｜Ａp-2がいえたことになる．

　　ｘＦ＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−２）・・・（ｘ−ｐ＋１）

　　　　＝ｘ^p−Ａ1ｘ^p-1＋・・・−Ａp-2ｘ^2＋Ａp-1ｘ

ｘをｘ−１で置き換えれば

　　（ｘ−１）^p−Ａ1（ｘ−１）^p-1＋・・・−Ａp-2（ｘ−１）^2＋Ａp-1（ｘ−１）

　＝（ｘ−１）（ｘ−２）・・・（ｘ−ｐ＋１）（ｘ−ｐ）

　＝（ｘ−ｐ）（ｘ^p−Ａ1ｘ^p-1＋・・・−Ａp-2ｘ^2＋Ａp-1）

　ここでｘ^kの係数を比べると

　　Ａ1＝pC2，

　　２Ａ2＝pC3+p-1C2・Ａ1，

　　３Ａ3＝pC4+p-1C3・Ａ1+p-2C2・Ａ2，

　　（ｐ−１）Ａp-1＝１＋Ａ1＋Ａ2＋・・・＋Ａp-2

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