【２】ｅの無理数性

　素数が無限に存在すること，√２が無理数であることは，ギリシア数学のなかでも有名な定理です．それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明していますが，その証明はだれしもが容易に理解できるものです．ｅの無理数性も背理法を用いて容易に示すことができます．

（問）e=1+1/1!+1/2!+1/3!+･･･+1/n!+･･･が無理数であることを証明せよ．

（証）整数ｐ，ｑが存在して，

　　ｐ／ｑ＝1+1/1!+1/2!+1/3!+･･･+1/n!+･･･

のように書けるものと仮定する．

　　ｐ／ｑ＝(1+1/1!+1/2!+･･･+1/q!)+(1/(q+1)!+1/(q+2)!+･･･)

　両辺をｑ！倍すると，

　　ｐ（ｑ−１）！＝(q!+q!/1!+q!/2!+･･･+q!/q!)+(1/(q+1)+1/(q+1)(q+2)+1/(q+1)(q+2)(q+3)+･･･)

ここで，ｐ（ｑ−１）！は整数，(q!+q!/1!+q!/2!+･･･+q!/q!)も整数．

　また，

　　1/(q+1)+1/(q+1)(q+2)+1/(q+1)(q+2)(q+3)+･･･

　＜1/(q+1)+1/(q+1)(q+1)+1/(q+1)(q+1)(q+1)+･･･＝1/q

となり，

　　1/(q+1)+1/(q+1)(q+2)+1/(q+1)(q+2)(q+3)+･･･

は小数であることがわかる．

　以上より，整数＝整数＋小数となって矛盾．ｅが有理数であるという仮定に誤りがあり，有理数ではあり得ないことを示している．したがって，ｅは無理数である．

　１７４４年，オイラーはこのようにしてｅの無理数性を示したのですが，さらに，１８７３年，エルミートはｅが超越数であることを証明しました．これに対して，πが無理数であることを示したのはランベルト（１７６１年）であり，最終的にリンデマンがπは超越数であること証明しました（１８８２年）．リンデマンはエルミートの方法を発展させ，πの超越性を示したのです．

（問）ｎ→∞のとき，数列 Sn=1+1/1!+1/2!+1/3!+･･･+1/n! が，数列 Tn=(1+1/n)^n と同じ極限ｅに収束することを示せ．

（証）２項定理により，

　　Tn=1+n･1/n+n(n-1)/2!･1/n^2+･･･+n!/n!･1/n^n

　　　=1+1+(1-1/n)･1/2!+･･･+(1-1/n)(1-2/n)(1-(n-1)/n)･1/n!

　ｎ→∞のとき

　　Tn→1+1/1!+1/2!+1/3!+･･･+1/n!+･･･＝ｅ

　分母の階乗の値が急速に増大するため，数列Ｓnは非常に速く収束しますが，数列Ｔnの極限値を直接計算するのは収束が遅くて非効率的です．

　なお，２＜ｅ＜３は次のようにして示すことができます．

　（証）　ｎ！＝１・２・３・・・ｎ＞１・２・２・・・２＝２^(n-1)

より，

　　e=1+1/1!+1/2!+1/3!+･･･+1/n!+･･･＜1+1+1/2+1/2^2+･･･+1/2^(n-1)＝３

　　２＜ｅは明らかである．

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