【１】ファウルハーバー

ベキ和の公式

　　Ss＝Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s

S1=Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

S2=Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

S3=Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４

はよく知られている．

　　１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２

　　１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋ｎ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６＝ｎ（ｎ＋１／２）（ｎ＋１）／３

となれば，次は

　　１^3＋２^3＋３^3＋・・・＋ｎ^3＝ｎ（ｎ＋１／３）（ｎ＋２／３）（ｎ＋１）／４

が予想されるところですが，そうではなく，

　　１^3＋２^3＋３^3＋・・・＋ｎ^3＝｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2

すなわち，３乗の和は和の２乗である

　　１^3＋２^3＋３^3＋・・・＋ｎ^3＝（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）^2

高校ではここまでは周知であろうが，高校数学の指導要領よりレベルをあげると

　　１^4＋２^4＋３^4＋・・・＋ｎ^4＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2＋３ｎ−１）／３０

S4=Σｋ^4＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2＋３ｎ−１）／３０

S5=Σｋ^5＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋２ｎ−１）／１２

S6=Σｋ^6＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^4＋６ｎ^3−３ｎ＋１）／４２

S7=Σｋ^7＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（３ｎ^4＋６ｎ^3−ｎ^2−４ｎ＋２）／２４

S8=Σｋ^8＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（５ｎ^6＋１５ｎ^5＋５ｎ^4−１５ｎ^3−ｎ^2＋９ｎ−３）／９０

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ファウルハーバーは，ベキ和の公式

　　Ｓs＝Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s

において，ｓ＝１７まで計算して，

［１］ｓが奇数のとき，ＳsはＳ1の多項式で表されることを見出し，

［２］ｓが偶数のときもこのことが成り立つと予想した．

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