【３】パスカルの三角形の概３等分

パスカルの三角形の第ｎ行の合計は２^nとなる．２^nは3では割り切れないので，３で割った余りは１か２である．ここで，

　　Ｕn＝Σ（ｎ，３ｒ）　　ｒ＝０〜［ｎ／ｒ］

を計算してみる．

　　Ｕ1＝1C0＝１

　　Ｕ2＝2C0＝１

　　Ｕ3＝3C0＋3C3＝２

　　Ｕ4＝4C0＋4C3＝５

　　Ｕ5＝5C0＋5C3＝１１

　　Ｕ6＝6C0＋6C3＋6C6＝２２

　周期性は見えてこないが，１の原始３乗根

　　ω＝ｃｏｓ（２π／３）＋ｉｓｉｎ（２π／３）

　　（１＋１）^n＝nC0＋nC1＋nC2＋・・・

　　（１＋ω）^n＝nC0＋nC1・ω＋nC2・ω^2＋・・・

　　（１＋ω^2）^n＝nC0＋nC1・ω^2＋nC2・ω^4＋・・・

を加えてnCrの係数を調べると

＝０　　　（ｒ＝３ｋ＋１のとき）

＝０　　　（ｒ＝３ｋ＋２のとき）

＝３　　　（ｒ＝３ｋのとき）

より，

右辺の和＝３（nC0＋nC3＋nC6＋・・・）＝３Ｕn

左辺の和＝（１＋１）^n＋（１＋ω）^n＋（１＋ω^2）^n＝２^n＋２ｃｏｓ（ｎπ／３）

　したがって，

Ｕn＝（２^n＋２ｃｏｓ（ｎπ／３））／３

nC0+nC3+nC6+・・・＝（２^n＋２ｃｏｓ（ｎπ／３））／３

が得られる．

同様に

nC1+nC4+nC7+・・・＝（２^n＋２ｃｏｓ（（ｎ−２）π／３））／３

nC2+nC5+nC8+・・・＝（２^n＋２ｃｏｓ（（ｎ−４）π／３））／３

が成り立つ．このことはパスカルの三角形の各行の和

nC0+nC1＋・・・＋nCn-1＋nCn＝２^n

は誤差±１でおおむね３等分することができることを示している．

2＝1+0+1

4＝1+2+1

8＝3+2+3

16＝5+6+5

32＝11+10+11

64＝21+22+21

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しかし，概４等分することは難しく，

nC0＋nC4＋nC8＋・・・＝（２^n＋２^n/2・２ｃｏｓｎπ／４）／４

nC1＋nC5＋nC9＋・・・＝（２^n＋２^n/2・２ｃｏｓ（ｎ−２）π／４）／４

nC2＋nC6＋nC10＋・・・＝（２^n＋２^n/2・２ｃｏｓ（ｎ−４）π／４）／４

nC3＋nC7＋nC11＋・・・＝（２^n＋２^n/2・２ｃｏｓ（ｎ−６）π／４）／４

一般に

nCk+nCm+k+nC2m+k+・・・＝１／ｍ・Σ（２ｃｏｓｊπ／ｍ）^n・ｃｏｓ（ｊ（ｎ−２ｋ）π／ｍ）, ０≦ｊ＜ｍ

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