【６】蛇足

（Ｑ）所与の数を６とする．与えられた数を２つの有理数の和に表し，その２数の積がｘ^3－ｘになるようにせよ．

（Ａ）ｙ（６－ｙ）＝ｘ^3－ｘが成り立つような有理数ｘ，ｙを求める．点（－１，０）はこのグラフ上にあるので，ｘ＝αｙ－１とおくと，

　　６ｙ－ｙ^2＝α^3ｙ^3－３α^2ｙ^2＋２αｙ

　　ｙ（α^3ｙ^2－（３α^2－１）ｙ＋（２α－６））＝０

　この等式の１次の項が消えるようにα＝３とおくと，

　　２７ｙ^3－２６ｙ^2＝０　→　ｙ＝２６／２７，ｘ＝１７／９

さらにこの点で接線を引く操作を繰り返すと新しい解がいくらでも得られる．

　　ｙ（６－ｙ）＝ｘ^3－ｘは変数変換ｗ＝ｙ＋３，ｘ＝－ｘによって，楕円曲線ｗ^2＝ｚ^3－ｚ＋９になる．Ｐ＝（ｚ，ｗ）＝（１，３），Ｑ＝（０，３）という２つの有理点（整数点）によって，すべての有理点がｍＰ＋ｎＱの形で与えられることがわかっている．上の手順は２Ｐ＝（－１７／９，－５５／２７）の計算に相当する．

　なお，この楕円曲線上には±（０，３），±（１，３），±（１，－３），±（９，２７），±（３５，２０７），±（３７，２２５），±（４６５８４，１００５４３７７）および無限遠点の計１５個もの整数点が見つかるという．

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