【２】オイラー・マクローリンの和公式（２）

［Ｑ］超階乗１^1２^2３^3・・・ｎ^nの近似値はいくつか？

　Πｋ^k・・・この結果を得るためにはΣｋｌｎｋ，ｆ（ｘ）＝ｘｌｏｇｘに対してオイラー・マクローリンの和公式法を使う．

　　ｆ（ｘ）＝ｘｌｏｇｘ ｆ^(5)（ｘ）＝−６／ｘ^4

　　ｆ’（ｘ）＝ｌｏｇｘ＋１ ｆ^(6)（ｘ）＝２４／ｘ^5

　　ｆ”（ｘ）＝１／ｘ ｆ^(7)（ｘ）＝−１２０／ｘ^6

　　ｆ^(3)（ｘ）＝−１／ｘ^2 ｆ^(8)（ｘ）＝７２０／ｘ^7

　　ｆ^(4)（ｘ）＝２／ｘ^3 ｆ^(9)（ｘ）＝−５０４０／ｘ^8

より，

　　ｆ^(k)（ｘ）＝(-1)^k（ｋ−２）！／ｘ^k-1

　　ｆ^(2k-1)（ｘ）＝−（２ｋ−３）！／ｘ^2k-2

　　Σ(1,n)klogk〜∫(1,n)xlogxdx+(f(n)+f(1))/2+ΣB2k/(2k)!(f^(2k-1)(n)-f^(2k-1)(1))+R

　　∫(1,n)xlogxdx=[x^2/2･logx]-∫(1,n)x/2dx=n^2/2･logn-n^2/4+1/4

　　(f(n)+f(1))/2=n/2･logn

　　(f'(n)-f'(1))/12=1/12･logn

　　(f^(3)(n)-f^(3)(1))/720=(-1/n^2+1)/720

　　(f^(5)(n)-f^(5)(1))/30240=(-6/n^4+6)/30240

　　(f^(7)(n)-f^(7)(1))/1209600=(-120/n^6+120)/1209600

　　B2k/(2k)!(f^(2k-1)(n)-f^(2k-1)(1))=-B2k/(2k)!（２ｋ−３）！（１／ｘ^2k-2−１）→B2k/(2k)(2k-1)(2k-2)

　　Σklogk〜(n^2/2+n/2+1/12)･logn-n^2/4+C

　　C=1/4-1/720+1/5040-1/10080+･･･

　　定数Ｃは

　　Ｃ＝１／１２−ζ’（−１）

で与えられる．ここで，ｅｘｐ（Ｃ）はグレイシャー（Glaisher）の定数と呼ばれるものである．

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　　Πｋ^k〜Ａ・ｎ^(n^2/2+n/2+1/12)ｅｘｐ(-n^2/4)

ここで，Ａ＝１．２８２４２７１・・・（Glaisherの定数）

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