階乗ｎ！の近似値を与える公式として，有名なスターリングの公式があります．

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［Ｑ］階乗ｎ！＝１・２・３・・・ｎの近似値はいくつか？

［Ａ］スターリングの近似式

　　ｎ！〜√（２π）・ｎ^(n+1/2)ｅｘｐ(-n)

　ｎ！〜√（２πｎ）ｎ^nｅｘｐ（-n）＝√（２πｎ）（ｎ／ｅ）^n

　ｎ＝８のとき，

　　８！＝４０３２０

　　４√π（８／ｅ）^8＝３９９０２

で，誤差は１％ですが，ｎが大きくなるほど相対誤差は小さくなります．（相対誤差はほぼ１／１２ｎである）．

　　ｎ！〜√（２πｎ）（ｎ／ｅ）^n（１＋１／１２ｎ）

オイラーの公式は数学において最も美しい公式といわれますが，私にとってはスターリングの近似公式のほうがより美しく感じられます．この公式にもπとｅが含まれていますが，整数のかけ算にπとｅが現れ，しかも誤差はわずかですから，なおさら美しいというわけです．ここではオイラー・マクローリンの和公式を使って，この近似公式を求めてみます．

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