外円の直径が６寸、甲円の直径が２寸のとき、乙円・丙円・丁円の直径を求めよ

1830年、一関の和算家・千葉秀胤編集「算法新書」の問題を改題

はすでに解が求まっている問題であるが、これに対してもメビウス変換を適用してみたい。

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外接円の半径:R

内接円の半径:r

外接円と内接円の中心間距離:d

s=(1-sin(π/n))/(1+sin(π/n))

とおくと2次同次式: d^2=R^2-Rr(s+1/s)+r^2 =(R-rs)(R-r/s)が成り立つ

を使うと、

n=4 → s+1/s=6

2R=6 (外円の直径)

R-d-r=2 (甲円の直径) → d=1-r

d^2=9-18r+r^2に代入 → r=1/2,d=1/2

R+d-r=3 (丙円の直径は3寸)

2r=1 (丁円の直径は1寸）

乙円の直径は2.4寸(余弦定理)

R=1とすると、縮尺は1/3となり、α=0、β=1/3

a^2+6a+1=0より、a=-3+2√2

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W平面における小円の半径は

r(1+1-sqr(2))=(1-1/sqr(2))

r=3-2√2

また、円と円との交点は

(1-sqr(2)/2,1-sqr(2)/2)

(0,3-2√2)

(-1+-sqr(2)/2,1-sqr(2)/2)

で与えられる。

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計算は面倒になるが

z=(a-w)/(aw-1)

により

甲円と乙円の交点は(5/11,2sqr(2)/11)

乙円と丙円の交点は(-1/9,2sqr(2)/9)

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これより乙円の中心を求めると

(1/5,2sqr(2)/2)

乙円の半径は2/5 (OK)

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