■和算と算額(その50)
外円の直径が6寸、甲円の直径が2寸のとき、乙円・丙円・丁円の直径を求めよ
1830年、一関の和算家・千葉秀胤編集「算法新書」の問題を改題
はすでに解が求まっている問題であるが、これに対してもメビウス変換を適用してみたい。
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外接円の半径:R
内接円の半径:r
外接円と内接円の中心間距離:d
s=(1-sin(π/n))/(1+sin(π/n))
とおくと2次同次式: d^2=R^2-Rr(s+1/s)+r^2 =(R-rs)(R-r/s)が成り立つ
を使うと、
n=4 → s+1/s=6
2R=6 (外円の直径)
R-d-r=2 (甲円の直径) → d=1-r
d^2=9-18r+r^2に代入 → r=1/2,d=1/2
R+d-r=3 (丙円の直径は3寸)
2r=1 (丁円の直径は1寸)
乙円の直径は2.4寸(余弦定理)
R=1とすると、縮尺は1/3となり、α=0、β=1/3
a^2+6a+1=0より、a=-3+2√2
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